Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

110 3.6. Champs de vecteurs et groupes à un paramètreoù X ′ (ξ i ) et X ′ (X ′ (ξ i )) sont des fonctions de (x ′ 1 , . . .,x′ n ), et donc généralement,par une récurrence évidente :d k x ′ idt k = X′( · · · (X ′ (ξ i ) ) · · · ) = X ′( · · · (X ′( X ′ (x ′ i} {{ } } {{ }))) · · · ),k−1 foisk foispour tout entier k 1, sachant que X ′ (x ′ i) = ξ i = ξ i (x ′ ) ; il sera utilede convenir que X ′0 x ′ i = x′ i lorsque k = 0.En posant maintenant t = 0 dans ces équations dk x ′ i= X ′k (x ′ dt i),knous obtenons donc l’expression recherchée des fonctions Ξ ik (x) :k! Ξ ik (x) ≡ X ′ k (x′i ) ∣ ∣t=0= X k (x i ),où X := ∑ ni=1 ξ i(x) ∂∂x iest le même champ de vecteurs que X ′ ,vu dans les coordonnées (x 1 , . . .,x n ). Ainsi de manière surprenante,l’intégration d’un flot dans le cas analytique revient à la sommationd’un nombre infini de termes différentiés.Proposition. L’unique solution x ′ (x; t) d’un système d’équations différentiellesordinaires :⎡dx ′ i⎣ dt = ξ i(x ′ 1 , . . ., x′ n )x ′ i (x; 0) = x i (i =1··· n)qui est associé ou bien à un groupe de transformations à un seul paramètrevia les équations différentielles fondamentales de Lie, ou bienà un champ de vecteurs quelconque X ′ = ∑ ni=1 ξ i(x ′ ) ∂ , est fournie∂x ′ ipar le développement en série entière convergent :(3) x ′ i(x; t) = x i + t X(x i ) + · · · + tkk! Xk (x i ) + · · · (i =1··· n),où X = ∑ ni=1 ξ i(x) ∂∂x iest le même champ que X ′ vu dans les coordonnées(x 1 , . . .,x n ), qui agit sur x i comme dérivation X k d’ordre karbitraire. De plus, ce développement peut aussi être réécrit de manièreappropriée au moyen d’une simple notation exponentielle :(3’) x ′ i = exp ( t X ) (x i ) = ∑ k0(t X) k(x i ) (i = 1 ···n).k!Ainsi cette proposition établit-elle l’équivalence ontologique fondamentale:groupe local à un paramètre ≡ transformation infinitésimale ,