Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 113qui fait bien sûr réapparaître la symbolique exponentielle. Évidemment,par différentiation, on doit retrouver l’action infinitésimale :Xf = d ( )exp(tX)(f)dt. t=0Maintenant, soit X = ∑ ni=1 ξ i(x) ∂∂x iune transformation infinitésimalequi engendre le groupe à un paramètre x ′ = exp(tX)(x).Qu’advient-il lorsque les variables x 1 , . . .,x n sont soumises à un changementde coordonnées analytiques locales ? Cette question généraleest tout à fait cruciale quant à l’individuation effective. En effet, toutedonation dans un système de coordonnées est entachée de quelconqueet d’arbitraire. Principe métaphysique : user au maximum de la libertéque l’on a de changer le système de coordonnées afin de spécifier et desimplifier au mieux les individus géométriques.En premier lieu, on doit donc comprendre a priori (et en général)de quelle façon les transformations infinitésimales arbitraires sont modifiées,simplifiées ou complexifiées lorsqu’on effectue un changementarbitraire de variables.Soit donc x ↦→ x = x(x) un changement de coordonnées analytiqueslocales, c’est-à-dire en faisant apparaître les indices :(x 1 , . . .,x n ) ↦−→ (x 1 , . . ., x n ) = ( x 1 (x), . . .,x n (x) ) .Ici, en respectant la pensée de Lie, aucun symbole fonctionnel n’estintroduit, mais pour les besoins occasionnels de l’exégèse moderne, onpourrait convenir d’appeler x ↦→ Φ(x) = x ce difféomorphisme local,avec une lettre auxiliaire Φ. Néanmoins, le formalisme de Lie présenteun avantage considérable par rapport au formalisme contemporain, etce, pour au moins deux raisons.• D’un point de vue symbolique, le difféomorphisme inverse :(x 1 , . . ., x n ) ↦−→ (x 1 , . . .,x n ) = ( x 1 (x), . . .,x n (x) )s’exprime exactement comme le difféomorphisme initial, en intervertissantseulement 26 les rôles de x et de x.• Aussi bien dans les applications concrètes que dans les démonstrationsdes théorèmes de classification, les fonctions coordonnéesimagessont toujours données explicitement ou spécifiquement en fonctiondes coordonnées-sources (x 1 , . . ., x n ), si bien que l’introduction de26 On se dispense ainsi d’avoir à résoudre la micro-question de présentation symboliqueformelle : « est-il plus adapté de choisir la lettre Φ ou bien la lettre Φ −1 pourdésigner le difféomorphisme initial ? ».