Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Critique des recherches helmholtziennes. 251qu’il retourne finalement à sa position initiale sans revenir en arrière ;en effet, il ne peut pas franchir les points invariants de la droite.Le groupe à un paramètre :y p − x q + c (x p + y q) (c≠ 0)satisfait tout aussi peu notre exigence. En effet, par son action, chaquepoint réel non invariant décrit une spirale logarithmique 5 ;il parcourtalors cette spirale continûment sans revenir en arrière, donc, évidemment,il ne retourne pas à sa position initiale.Par conséquent, le groupe à un paramètre :(31) y p − x q,par l’action duquel tout point réel décrit un cercle, est le seul qui satisfaitnotre exigence parmi les groupes (30).Si on considère maintenant les différents types de groupes projectifsréels du plan à deux et à trois paramètres (voir pp. 106 sq. et p. 384),alors on vérifie immédiatement que presque chacun d’entre eux contientun sous-groupe réel à un paramètre qui possède l’une des six premièresformes (30), ou toutefois pour le moins, qui peut être ramené à l’unede ces formes par une transformation projective réelle. Le seul groupeprojectif réel à deux ou à trois paramètres qui ne contient aucun sousgroupeà un paramètre tel que les six premiers de (30), est le groupeprojectif réel à trois paramètres :(32) p + x (x p + y q), q + y (x p + y q), y p − x qde la conique imaginaire : x 2 + y 2 + 1 = 0.Il découle de là que, sous les hypothèses posées, le groupe g définià la page 249 est toujours à trois paramètres et qu’il peut être ramené,via une transformation projective réelle, à la forme (32).En revenant maintenant au groupe linéaire homogène (29), on vérifieimmédiatement (cf.p. 110) que par une transformation linéaire homogèneréelle, celui-ci reçoit la forme :x ′ µ p′ ν − x′ ν p′ µ + α µν (x ′ 1 p′ 1 + x′ 2 p′ 2 + x′ 3 p′ 3 )(µ, ν = 1, 2,3; α µν + α νµ =0).5 En coordonnées polaires, ce générateur s’écrit ∂ θ +cr ∂ r ; ses courbes intégralessatisfont dθ drdt= 1 etdt = cr, d’où θ = θ 0 + t et r = r 0 e c t : ce sont des spirales nonpériodiques lorsque c ≠ 0.