Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

178 Division V. Chapitre 20. § 85.X 1 f . . .X 6 f fixant le point en question (voir 34 Tome I, p. 203, Proposition7), nous obtenons la :Proposition 2. Soit : X 1 f . . .X 6 f un groupe à six paramètres deR 3 et soit :Y k f = α k (x, y, z) p + β k (x, y, z) q + γ k (x, y, z) r(k = 1, 2,3)trois transformations infinitésimales quelconques du groupe qui laissentinvariant un point en position générale. Alors, relativement au groupe :X 1 f . . .X 6 f, deux points possèdent toujours un et un seul invariantlorsque, et seulement lorsque, le déterminant :(21)∣∣α 1 β 1 γ 1 ∣∣∣∣∣α 2 β 2 γ 2α 3 β 3 γ 334 D’après cette proposition générale qui repose seulement sur des considérationsd’algèbre linéaire, si X k = ∑ ni=1 ξ ki(x 1 , . . .,x n ) ∂∂x i, k = 1, . . .,m sont m transformationsinfinitésimales indépendantes d’un groupe fini continu quelconque à mparamètres, et si q désigne le rang générique de la matrice ( ξ ki (x) ) 1in1km forméede leurs coefficients, alors localement au voisinage d’un point en position générale etaprès renumérotation éventuelle des X k :• les q premières transformations infinitésimales X 1 , . . . , X q ne sont liées par aucunerelation de la forme :χ 1 (x 1 , . . .,x n ) · X 1 + · · · + χ q (x 1 , . . . , x n ) · X q ≡ 0 ;• les m − q transformations infinitésimales restantes X q+1 , . . . , X m s’exprimentcomme combinaisons linéaires à coefficients fonctionnels de X 1 , . . . , X q :X q+j ≡ ∑ qk=1 ϕ jk(x 1 , . . . , x n ) · X k (j =1··· m − q) ;• la sous-algèbre de Lie constituée des transformations infinitésimales qui s’annulenten un point fixé (x 0 1 , . . .,x0 n ) est précisément de dimension m − q et elleest engendrée par les m − q transformations explicites :X q+j − ∑ qk=1 ϕ jk(x 0 1 , . . . , x0 n ) · X k (j = 1 ··· m − q).Appliquée ici avec n = 3, m = 6 et q = 3, cette proposition donne les m − q = 3transformations infinitésimales X 3+k − ∑ 1j3 ϕ kj(x 1 , y 1 , z 1 )X j , k = 1, 2, 3 indépendantess’annulant au point (x 1 , y 1 , z 1 ) et dont la matrice 3 × 3 des coefficientspossède un rang générique égal à 2. Cette propriété se transmet donc à tout systèmeY 1 , Y 2 , Y 3 de trois transformations infinitésimales indépendantes du groupe qui s’annulenten (x 1 , y 1 , z 1 ) : c’est la Proposition 2.