Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

68 2.7. Calculs helmholtzienslinéairement d’une variable « temporelle » auxiliaire notée η, introduisonsles trois quotients différentiels :A n := d ( (A n p ′ (η), p ′′ (η), p ′′′ (η) )) (n =0, 1, 2),dηet de même, introduisons les quotients différentiels analogues B n , C npour n = 0, 1, 2. En différentiant alors les équations (2) par rapport à η,on obtient des équations :⎧dxdη = A 0 ξ + B 0 υ + C 0 ζ⎪⎨dydη = A 1 ξ + B 1 υ + C 1 ζdz ⎪⎩dη = A 2 ξ + B 2 υ + C 2 ζ,dans lesquelles on peut réexprimer ξ, υ, ζ en fonction de x, y, z en inversantle système (2), ce qui donne un système homogène d’équationsdifférentielles ordinaires d’ordre 1 :(3)⎧⎪⎨⎪⎩dxdη = a 0x + b 0 y + c 0 zdydη = a 1x + b 1 y + c 1 zdzdη = a 2x + b 2 y + c 2 z,avec certaines fonctions a n , b n , c n (n = 0, 1, 2) du paramètre individuelη. Les paramètres initiaux p ′ , p ′′ , p ′′′ étant au nombre de trois, on peuten fait obtenir trois tels systèmes indépendants en choisissant la dépendance(supposée linéaire) par rapport à η de ces paramètres le long detrois directions de droite qui sont indépendantes (cf. ce qui va suivre).Dans un passage difficile à déchiffrer dont le contenu fut ensuitetrès largement englobé par la théorie de Lie des transformations infinitésimalesassociées à un groupe linéaire homogène, Helmholtz montreque les fonctions a n , b n , c n sont en fait constantes. Ainsi peut-on appliquerau système (3) ci-dessus les théorèmes bien connus de la théoriedes systèmes d’ordre 1 à coefficients constants.Par ailleurs, en supposant l’existence d’un, et d’un seul invariantpour toute paire de points relativement au groupe d’isotropie linéarisé(validité de l’axiome II dans l’infinitésimal), Helmholtz affirme dans un