Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

116 3.6. Champs de vecteurs et groupes à un paramètreénoncera que ces équations de transformations, appelées équations finiescanoniques du groupe par Engel et Lie, recouvrent complètementles équations originales x ′ i = f i(x; a).Avant de poursuivre, résumons le parcours spéculatif et soulevonsdes questions nouvelles. Le Multiple X 1 , . . .,X r comprend l’Un-diversX = λ 1 X 1 +· · ·+λ r X r de transformations infinitésimales individuellespossibles. Chaque tel Un-divers jouit pleinement de l’équivalence ontologiqueavec le groupe à un paramètre qu’il engendre. Ainsi le groupeà un paramètre de l’Un-divers fournit-il gratuitement des équations detransformations à plusieurs paramètres. La question de savoir commentces équations de transformations x ′ i = h i(x; t, λ 1 , . . .,λ r ) sont reliéesaux anciennes équations se divise alors en deux questions.• Étant donné r transformations infinitésimales linéairement indépendantesX 1 , . . .,X r qui proviennent d’un groupe continu à r paramètresessentiels x ′ = f(x; a 1 , . . .,a r ), comment choisir 27 les paramètrest, λ 1 , . . .,λ r dans les équations de transformations x ′ =exp ( tλ 1 X 1 + · · · + tλ r X r )(x) pour retrouver x ′ = f(x; a 1 , . . .,a r ) ?• Étant donné r transformations infinitésimales linéairement indépendantesquelconques X 1 , . . .,X r qui ne proviennent pas forcémentd’un groupe continu fini, les équations de transformations x ′ =exp ( tλ 1 X 1 + · · ·+tλ r X r )(x) constituent-elles un groupe continu fini ?Et si tel n’est pas le cas, sous quelles conditions, nécessaires, suffisantes,ou mieux encore : nécessaires et suffisantes 28 cette conclusion est-ellesatisfaite ?La seconde question exige la notion cruciale de crochet de Lie(§§ 3.8 et 3.9 ci-dessous), tandis que la réponse à la première peuts’en dispenser : le passage à un niveau supérieur d’abstraction dans lesconditions de donation implique un renversement complet du champsynthétique.Tout d’abord, au sujet des fonctions h i (x; t, λ 1 , . . .,λ r ) introduitesà l’instant, une question se pose immédiatement : les r + 1 paramètrest et λ 1 , . . .,λ r y sont-ils essentiels ? Certainement pas : ces r + 1 paramètresse réduisent en fait à r paramètres (au maximum), puisquechaque λ i apparaît multiplié par t dans exp(tλ 1 X 1 + · · · + tλ r X r )(x).27 Nous venons d’annoncer que l’on retrouve les équations d’origine, mais il auraittrès bien pu se produire que les équations x ′ = exp ( tλ 1 X 1 + · · · + tλ r X r )(x) leursoient purement étrangères.28 Nécessité et suffisance en toute circonstance : exigence riemannienne universelle.