Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

190 Division V. Chapitre 20. § 87.de z qui rend ϕ 3 = 1, et comme cela n’a pas d’influence sur p et sur q,il en découle que les trois premières transformations infinitésimales denotre groupe se présentent maintenant sous la forme :p, q, xq + r.En calculant les crochets de : xp+yq+ϕ 4 r avec p et q, on vérifie, exactementcomme pour ϕ 3 , que ϕ 4 dépend seulement de z ; mais commepar ailleurs on obtient aussi 15 :[xq + r, xp + yq + ϕ4 (z) r ] = ϕ ′ 4(z) r,il s’ensuit que ϕ ′ 4(z) = 0, d’où ϕ 4 (z) = c, de telle sorte que nousobtenons la transformation infinitésimale :xp + yq + cr.Exactement comme pour ϕ 3 et ϕ 4 , on vérifie aussi que ϕ 5 ne dépendque de z ; de plus, nous obtenons :[xq + r, xp − yq + ϕ5 (z) r ] = −2xq + ϕ ′ 5(z) r,et donc 16 : ϕ ′ 5 (z) = −2, c’est-à-dire : ϕ 5(z) = −2z + const. Mais enintroduisant une nouvelle coordonnée z, on peut annuler la constanted’intégration, sans modifier la forme des précédentes 17 transformationsinfinitésimales. Ensuite, en calculant le crochet :[xp + yq + cr, xp − yq − 2zr]= −2cr15 Il sera maintenant fréquemment sous-entendu que les crochets [ ]X j , X k calculéspar la suite doivent, d’après l’hypothèse que X 1 , . . . , X 6 forment une algèbre deLie, s’exprimer comme certaines combinaisons linéaires λ 1 X 1 + · · · + λ 6 X 6 à coefficientsconstants de X 1 , . . .,X 6 eux-mêmes. Dans la plupart des cas, en inspectantla partie en p et en q de chaque X k , on voit d’un seul coup d’œil les seuls constantesλ k possibles qui peuvent apparaître, sans avoir à résoudre un système linéaire. Unefois que ces constantes sont déterminées, on en déduit une condition intéressante surles fonctions inconnues ϕ 1 , . . . , ϕ 6 . Par exemple, lorsque le crochet calculé est de laforme ψ r, nécessairement toutes les constantes λ k sont nulles, donc ψ ≡ 0, et celadonne une équation différentielle sur les inconnues ϕ k . Engel et Lie organisent les calculsde telle sorte que la détermination et la normalisation de ces fonction s’effectuentde manière progressive et graduelle.16 Ce crochet doit être combinaison linéaire des six transformations infinitésimales(27), dont les quatre premières : p, q, xq + r et xp + yq + cr ont déjà été normalisées.Puisque le membre de droite du crochet calculé contient seulement le terme−2xq en p et en q, la combinaison linéaire en question ne peut être que : −2 (xq + r),d’où ϕ ′ 5 (z)r = −2 r.17 Les quatre premières transformations infinitésimales déjà normalisées sont dela forme ξ p + ζ q, sans terme en ζ r, et elles restent invariables par tout changementde coordonnées de la forme x = x, y = y, z = z(x, y, z).