Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

194 Division V. Chapitre 20. § 87.à nouveau un point en position générale, reste invariante par les troistransformations infinitésimales :xp + yq, xp − yq − 2zr, x 2 p + xyq + (y − xz) rdu groupe (30), mais le déterminant correspondant :x y 0x −y −2z= −2xy(y − xz)∣ x 2 xy y − xz ∣ne s’annule pas identiquement, donc deux points de R 3 n’ont à nouveauaucun invariant relativement au groupe (30).Troisième casIci, le groupe réduit : X 1 f . . .X 6 f a la forme (III), explicitéepage 188, d’où le groupe : X 1 f . . .X 6 f est de la forme :{p + ϕ1 r, q + ϕ 2 r, xq + ϕ 3 r, xp + yq + ϕ 4 r(31)x 2 q + ϕ 5 r, x 2 p + 2xyq + ϕ 6 r,où l’on entend par ϕ 1 . . .ϕ 6 des fonctions de x, y, z.Exactement comme pour le premier cas, on vérifie que les quatrepremières transformations infinitésimales (31) peuvent être mises sousla forme :p, q, xq + r, xp + yq + cr.Afin de déterminer ϕ 5 , formons les crochets :[p, x 2 q + ϕ 5 r ] = 2xq + ∂ϕ 5∂x r[q, x 2 q + ϕ 5 r ] ∂ϕ 5=∂y r[xq + r, x 2 q + ϕ 5 r ] =(x ∂ϕ 5∂y + ∂ϕ 5∂z)r[xp + yq + cr, x 2 q + ϕ 5 r ] = x 2 q +{x ∂ϕ 5∂x + y ∂ϕ 5∂y + c ∂ϕ 5∂zà partir desquels nous obtenons les équations :∂ϕ 5∂x = 2, ∂ϕ 5∂y = ∂ϕ 5∂z = 0,x ∂ϕ 5∂x + y ∂ϕ 5∂y + c ∂ϕ 5∂z = ϕ 5 = 2x.}r,