Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

214 Division V. Chapitre 20. § 89.Ainsi, nous sommes parvenus au groupe :(58)p, q, xp + yq + ar, yp − xq + br(x 2 − y 2 ) p + 2xyq + 2(ax − by) r2xyp + (y 2 − x 2 ) q + 2(bx + ay) r.Ici, les constantes a et b ne doivent naturellement pas s’annuler toutesles deux, parce que sinon, le groupe serait intransitif ; si b = 0, nouspouvons toujours parvenir à faire que a = 1 en introduisant une nouvellevariable z, et si au contraire, b ne s’annule pas, on peut toujoursfaire que b soit simplement égal à 1.Comme on le trouve aisément, relativement au groupe (58), deuxpoints x 1 , y 1 , z 1 et x 2 , y 2 , z 2 ont un et un seul invariant, à savoir celui-ci :z 1 + z 2 − a log { (x 2 − x 1 ) 2 + (y 2 − y 1 ) 2} + 2 b arctan y 2 − y 1x 2 − x 1.En raisonnant comme précédemment (cf.par exemple p. 196), on pourraitaussi se convaincre facilement que si a et b ne s’annulent pas tousdeux, trois points et plus n’ont aucun invariant essentiel ; toutefois, nouspréférons démontrer cela en indiquant une transformation ponctuelleimaginaire qui envoie le groupe (58) sur le groupe [1] p. 205, puisquenous savons déjà du groupe [1] qu’il satisfait toutes nos exigences.Si nous introduisons dans le groupe (58) les nouvelles variables :nous obtenons le groupe :x 1 = x + iy, y 1 = x − iy, z 1 = z,p 1 + q 1 , i(p 1 − q 1 ), x 1 p 1 + y 1 q 1 + ar 1 , i(y 1 q 1 − x 1 p 1 ) + br 1x 2 1p 1 + y 2 1q 1 + { (a + ib) x 1 + (a − ib) y 1}r1i(y 2 1q 1 − x 2 1p 1 ) + i { (a − ib) y 1 − (a + ib) x 1}r1 .Maintenant, comme a + ib ≠ 0, nous pouvons encore introduire 2z 1a+ibcomme nouvelle variable z 1 et obtenir ainsi un groupe qui a exactementla forme [1]. Ainsi, le groupe (58) est semblable au groupe [1] via latransformation imaginaire :x 1 = x + iy, y 1 = x − iy, z 1 = 2za+ib ,et en fait, aux paramètres a et b du groupe (58) correspond alors lavaleur :(59) c = a−iba+ibdu paramètre c du groupe [1].