Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 1. L’ouverture riemannienne 37Toute genèse doit en effet procéder par conditions démonstratives, aumoins suffisantes dans un premier moment, et si possible ensuite, nécessaireset suffisantes, afin de resserrer au mieux peut-être les écarts synthétiquesentre concepts qui pourraient cacher des pétitions de principe,des hypothèses implicites, ou mieux encore, des concepts nouveaux etouverts qui pourraient connaître un destin inattendu dans l’histoire desmathématiques 70 . Ainsi sur le chemin génétique qui conduit aux métriquesdifférentielles quadratiques maintenant dites « riemanniennes »,Riemann va-t-il poser successivement plusieurs hypothèses ouvertes quipourraient conduire à d’autres types de rapports métriques possibles.1.17. Genèse des métriques riemaniennes. Les déterminations de lieuétant ramenées aux déterminations simultanées de n grandeurs numériquesx 1 , x 2 , x 3 , . . .,x n (§ 1.15), le problème consiste maintenantà trouver une expression mathématique pour la longueur des lignescourbes tracées dans la multiplicité. Comme dans l’espace ordinaire, ladonation d’une ligne courbe revient à ce que les quantités x i dépendentparamétriquement d’une seule variable auxiliaire.Je ne traiterai ce problème que sous certaines restrictions, et jeme bornerai d’abord aux lignes dans lesquelles les rapports entre lesaccroissements dx des variables x correspondantes varient d’une manièrecontinue. [133], p. 286.Leitmotiv riemannien : encore une annonce d’ouverture potentielle laisséede côté par le choix d’une hypothèse déterminée. Poser une hypothèse,c’est s’écarter éventuellement d’un (autre) univers mathématique,c’est bifurquer vers une certaine branche de l’arbre mathématique, sansexaminer d’autres branches, sans explorer d’autres univers.70 Encore une fois, rappelons que la pensée mathématique structuraliste contemporainene place jamais la question à un niveau aussi problématisant. En effet, lorsqu’ons’autorise à commencer un article ou un exposé par une phrase telle que « Soit Mune variété différentielle munie d’une métrique riemannienne g », ou telle que « Soitdz1−|z| 2 la métrique de Poincaré sur le disque unité ∆ = {z ∈ C : |z| < 1} dans C »,l’acte de position que désigne l’expression « Soit X un objet mathématique défini » réfèreà un concept considéré comme déjà donné dans une architecture paradigmatiqueconstituée.