Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 153du goupe à r paramètres qui est engendré par les r transformations infinitésimalesindépendantes :n∑X k (f) = ξ ki (x 1 ,... ,x n ) ∂f(k = 1 ···r).∂x ii=1D’après la preuve du Théorème 9 p. 133, nous savons de plus que l’on trouvela transformation (11) en question en choisissant d’une manière appropriéea 1 ,... ,a r comme fonctions indépendantes de λ 1 ,... ,λ r et en déterminantinversement λ 1 ,... ,λ r comme fonction de a 1 ,...,a r . Mais d’un autre côté,nous obtenons aussi la transformation x i = f i (x,a) en exécutant d’abord latransformation x ′ i = f i (x,a 0 ), puis la transformation x i = Φ i (x ′ ,a). Parconséquent, la transformation x i = Φ i (x ′ ,a) appartient au groupe engendrépar X 1 f,...,X r f dès que le système de valeurs a 1 ,... ,a r se trouve dansun certain voisinage de a 0 1 ,... ,a0 r. Pour l’exprimer différemment : les équationsx i = Φ i (x ′ ,a) sont transformées en les équations (11) lorsque a 1 ,... ,a rest remplacé par les fonctions mentionnées de λ 1 ,...,λ r . Ceci prouve ladeuxième partie de notre assertion.Ainsi, les équations de transformation x i = Φ i (x ′ ,a) possèdent la propriétéimportante suivante : si à la place de a k , on introduit les nouveauxparamètres b 1 ,...,b r au moyen des équations a k = ϕ k (a 0 ,b), alors pourun certain domaine des variables, les équations x i = Φ i (x ′ ,a) prennent laforme x i = f i (x ′ ,b) ; d’un autre côté, si on introduit les nouveaux paramètresλ 1 ,... ,λ r à la place de a k , alors pour un certain domaine, les équationsx i = Φ i (x ′ ,a) se convertissent en :r∑x i = x ′ i + λ k ξ ki (x ′ ) + · · · (i =1··· n)k=1Voilà donc en définitive une caractéristique importante du groupe initialementdonné x ′ i = f i(x,a) : quand on introduit dans les équations x ′ i =f i (x,a) les nouveaux paramètres a 1 ,...,a r à la place des a k au moyen dea k = ϕ k (a 0 ,a), alors on obtient un système d’équations de transformationsx ′ i = Φ i(x,a) qui représentent, lorsqu’on les prolonge analytiquement, unefamille de transformations à laquelle appartiennent toutes les transformationsd’un certain groupe à r paramètres contenant la transformations identité.Nous pouvons exprimer cela comme suit.Théorème 26. ([40], p. 163) Tout groupe x ′ i = f i(x 1 ,...,x n , a 1 ,...,a r ) àr paramètres qui n’est pas engendré par r transformations infinitésimales indépendantesdérive d’un groupe contenant r transformations infinitésimalesindépendantes de la manière suivante : former tout d’abord les équations différentielles:∂x ′ i∂a k=r∑ψ kj (a) · ξ ji (x ′ )j=1(i = 1 ··· n; k = 1 ···r),