Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

280 Division V. Chapitre 22. § 100.Parmi les variétés n fois étendues qui ont une longueur d’élémentcourbe de la forme (5) mentionnée ci-dessus, Riemann considère en particuliertoutes celles pour lesquelles la mesure de courbure est constanteen tous lieux, donc pour lesquelles cette mesure de courbure a la mêmevaleur en tous les points et en tous les M 2 -éléments passant par cespoints. Il dit ce qui suit au sujet de ces variétés :« Le caractère commun de ces variétés dont la mesure de courbureest constante, peut aussi être exprimé en disant que les figures peuventse mouvoir * sans élargissement [Dehnung] en elles. Car il est évidentque les figures en elles ne pourraient pas coulisser [verschiebar sein]et pivoter [drehbar sein] librement, si la mesure de courbure n’était pasla même en chaque point et dans toutes les directions. Mais d’autrepart, les rapports métriques de la variété sont complètement déterminéspar la mesure de courbure ; donc les rapports métriques autour d’unpoint et dans toutes les directions sont exactement les mêmes qu’autourd’un autre point, et par conséquent, à partir de ce premier point, lesmêmes constructions peuvent être transférées, d’où il s’ensuit que, dansles variétés dont la mesure de courbure est constante, on peut donneraux figures chaque position quelconque. »En ces termes, il est exprimé que l’exigence d’après laquelle lamesure de courbure doit être partout constante, a la même significationque certaines exigences concernant la mobilité des figures. Si nous plaçonscette dernière exigence au tout début, nous pouvons restituer de lamanière suivante l’enchaînement des idées de Riemann d’une manièrequelque peu plus précise, quoique non absolument précise :Riemann cherche, parmi les variétés dont la longueur d’un élémentcourbe a la forme (5), toutes celles dans lesquelles les figures peuventoccuper chaque position quelconque, c’est-à-dire, dans lesquelles lesfigures peuvent coulisser et tourner, sans subir d’élargissement. Il parvientà ce résultat que les variétés dont la mesure de courbure estconstante en tous lieux sont les seules dans lesquelles les figures sontmobiles de cette manière.Mais maintenant, que doit-on entendre là-dessous, quand on ditque les figures peuvent occuper chaque position quelconque, ou encorequ’elles doivent pouvoir coulisser et tourner librement ?Tout d’abord, nous voulons établir ce que cela veut dire que lesfigures doivent être mobiles sans élargissement et en général.*Ici à vrai dire, Riemann aurait même dû ajouter le mot « librement ».