Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

250 Division V. Chapitre 21. § 95.telle manière que, sans revenir en arrière, ils reviennent finalement etsimultanément à leur position initiale ; si la droite à l’infini ne devaitpas rester invariante par l’action du groupe à un paramètre en question,alors un point situé dans la région finie pourrait naturellement traverseraussi l’infini au cours de son mouvement.Maintenant, nous allons tout d’abord rechercher tous les groupesréels projectifs à un paramètre du plan qui ont la constitution décriteà l’instant. Nous les connaissons 3 , donc il ne nous sera pas difficile detrouver tous les groupes projectifs réels du plan à deux ou à trois paramètresqui contiennent seulement des sous-groupes à un paramètre decette nature. Enfin, à partir de là, nous pourrons conclure quelle formepossède le groupe linéaire homogène (29).D’après les pages 107 et 384, tout groupe projectif réel à un paramètredu plan peut être rapporté, via une transformation projectiveréelle de ce plan, à l’une des sept formes suivantes :⎧⎪⎨p + y q; p + x q; y q; q;(30) x p + c y q (c≠0, 1); y p − x q + c (x p + yq) (c≠ 0);⎪⎩y p − x q.Maintenant, quels sont ceux, parmi ces groupes à un paramètre, qui ontici la constitution que nous demandons ?Les cinq premiers ne l’ont certainement pas. En effet, par l’actionde chacun d’entre eux, au moins une droite réelle reste au repos 4 , dontles points sont transformés par l’action d’un groupe à un paramètre, etpour préciser, de telle manière que sur cette droite, soit deux points réelsséparés, soit deux points réels qui coïncident, conservent leur position.Il découle de là qu’un point réel d’une telle droite qui ne reste pas aurepos peut certes se mouvoir librement en général sur la droite, maisqu’il n’est pas en état de parcourir continûment la droite de telle façon3 D’après les développements substantiels du Tome III qui précèdent cette DivisionV.4 Pour les groupes numéro 1, 3, 4 et 5, une telle droite fixe est, respectivement{y = 0}, {x = 0}, {x = 0} et {y = 0}. Pour le groupe numéro 2, c’est la droite à l’infiniqui est invariante. On vérifie cela en effectuant le changement de carte projectivex ′ = 1 x , y′ = y xqui transforme comme suit les champs de vecteurs basiques :∂∂x = −x′ x ′ ∂∂x ′ −x ′ y ′ ∂∂y ′ et∂∂y = x′ ∂∂y ′ , d’où∂∂x +x ∂ ∂y = −x′ x ′ ∂∂x+(1−x ′ y ′ ) ∂′ ∂y, ′ce qui montre que la droite {x ′ = 0} reste invariante dans ce système de coordonnées.Dans les cinq cas, en restriction à chaque droite invariante respective, le groupe estéquivalent ou bien à ∂ x (le point à l’infini est fixe) ou bien à x∂ x (l’origine et le pointà l’infini sont tous deux fixes).