Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 97Le Théorème 26 est énoncé à la page 163 de [40] (voir p. 153), etil est démontré tout juste avant que n’apparaisse le contre-exemple deEngel. Ce théorème raffiné et subtil confirme la croyance métaphysiquede Lie, montre sa persévérance intellectuelle, et prouve à nouveau saremarquable force de conceptualisation. En résumé, il s’énonce commesuit 13 .Soit x ′ i = f i (x; a 1 , . . .,a r ), i = 1, . . .,n une collection detransformations fermée par compositions locales. D’après le théorèmeénoncé p. 104 ci-dessous, il existe un système d’équations différentiellesfondamentales de la forme :∂x ′ i∂a k=r∑ψ kj (a) · ξ ji (x ′ )j=1(i = 1 ···n ; k = 1 ··· r).qui est satisfait identiquement par les fonctions f i (x, a), où les ψ kjsont certaines fonctions analytiques des paramètres (a 1 , . . ., a r ). Si l’onintroduit alors les r transformations infinitésimales (voir le § 3.4 cidessous)qui sont définies par :n∑i=1ξ ki (x) ∂f∂x i=: X k (f)et si l’on forme les équations finies :x ′ i = exp ( λ 1 X 1 + · · · + λ k X k)(x)(k = 1 ···r),=: g i (x; λ 1 , . . .,λ r ) (i = 1 ··· n)du groupe à r paramètres qui est engendré par ces r transformationsinfinitésimales, alors ce groupe contient l’élément identité g(x; 0) etses transformations sont ordonnées par paires inverses l’une de l’autre :g(x; −λ) = g(x; λ) −1 . Enfin, le Théorème 26 en question (p. 153 cidessous)énonce que dans ces équations finies x ′ i = g i(x; λ), il est possibled’introduire de nouveaux paramètres locaux a 1 , . . .,a r à la placede λ 1 , . . ., λ r de telle sorte que les équations de transformations qui enrésultent :x ′ i = g i(x; λ1 (a), . . .,λ r (a) )=: f i (x 1 , . . .,x n , a 1 , . . .,a r ) (i = 1 ···n)13 En première approche, ce passage doit être lu en admettant quelques notionsqui ne seront présentées que dans les paragraphes qui suivent.