Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Avant-proposLa troisième et dernière partie de cet ouvrage propose une traductionfrançaise annotée de la solution mathématique complète qu’ontdonnée Friedrich Engel et Sophus Lie dans le troisième volume de lamonumentale Theorie der Transformationsgruppen ([42], pp. 393–523)au problème dit « de Riemann-Helmholtz » :Par quels axiomes spatiaux peut-on caractériser les trois géométriesà courbure constante, euclidienne, lobatchevskienne ou riemannienne,à l’exclusion de toute autre géométrie ?Notre premier objectif est de faire revivre, au sein de la philosophiecontemporaine de la géométrie, l’incroyable puissance de pensée et deconception de Lie qui parvint, entre 1873 et 1893, à ériger sur des milliersde pages une théorie réalisant pleinement le fameux Programmed’Erlangen de Klein (1872, [86]). Lie partait de l’idée seule qu’il devaitexister, dans le domaine des transformations continues entre équationsdifférentielles, un analogue métaphysiquement complet à la théorie desgroupes de substitutions des racines d’une équation algébrique que Serretet Jordan venaient de développer, quelques décennies après la parutionposthume du mémoire génial [55] d’Évariste Galois.Mais surtout, notre objectif principal est de montrer, en termes desemailles au sens de Grothendieck et dans la lignée de quelques écolesmathématiques contemporaines qui se sont développées aux États-Unisavec notamment Olver [124, 125], Gardner [56] et Bryant [21] —cf. aussi le beau livre du suédois Stormark [157] —, que notre époquepeut maintenant accueillir une sorte de résurrection des mathématiquesqui se sont développées à la charnière du 19 ème et du 20 ème siècle, notammentdans ses techniques, dans ses manières de penser, et dans sesproblématiques mêmes, toujours riches, ouvertes et inépuisables. À vraidire, bien que le présent ouvrage ne constitue en rien un travail d’histoiredes mathématiques, c’est la lecture des travaux d’Hawkins [68, 69]qui nous a fait prendre conscience, philosophiquement, de l’importance,