Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

204 Division V. Chapitre 20. § 88.pas tous, y compris pour c = 0. Par conséquent, parmi tous les groupesde la forme (51), le groupe :(52)p, q, r, 2xp + yq, xq + yrx 2 p + xyq + 1 2 y2 rest le seul relativement auquel deux points possèdent un et un seul invariant.Par le calcul, on trouve que cet invariant possède la forme :(53) z 2 − z 1 − (y 2 − y 1 ) 22 (x 2 − x 1 ) .La famille des pseudosphères :(54) z − z 0 − (y − y 0) 22 (x − x 0 ) = const.qui appartient à notre groupe (52) consiste manifestement en ∞ 3 surfacesdifférentes. Par ailleurs, on se convainc facilement que les transformationsinfinitésimales du groupe (52) qui fixent le point en positiongénérale : x = y = z = 0, ne laissent au repos nulle autre courbe passantpar ce point que la droite : x = y = 0 ; par conséquent : x = const.,y = const. est la seule famille de ∞ 2 courbes qui reste invariante par legroupe (52) et la Proposition 4, p. 181 montre à nouveau qu’un nombrede points supérieur à deux n’a pas d’invariant essentiel relativement augroupe (52).Pour terminer, remarquons encore que le groupe (52) ne laisseinvariante qu’une seule famille de ∞ 1 surfaces, à savoir la famille :x = const.Ainsi, nous avons aussi trouvé tous les groupes imprimitifs de R 3qui satisfont l’exigence que nous avons formulée page 166.§ 88.D’après les résultats des deux précédents paragraphes, le problèmeénoncé dans l’ouverture du présent chapitre possède la solution suivante1 .Théorème 36. Si un groupe continu fini de l’espace des x, y, z estconstitué de telle sorte que relativement à son action, deux points ontun et un seul invariant tandis que tous les invariants d’un nombre depoints supérieur à deux peuvent s’exprimer au moyen des invariants des1 Le résultat vaut pour un groupe de transformations holomorphes locales agissantsur C 3 , le cas des groupes réels étant traité au § 89 qui suit.