Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Critique des recherches helmholtziennes. 231Monsieur de Helmholtz s’imagine en effet qu’un certain nombre,disons m, de points : P 1 , P 2 , . . .P m de l’espace mobile sont fixés.D’après l’Axiome II, il existe alors pour les coordonnées de chaqueautre point P de l’espace mobile certaines équations, qui exprimentque les invariants des m paires de points : P, P 1 ; P, P 2 ; . . . ; P, P mconservent leur valeur numérique au cours de tous les mouvements encorepossibles. Mais les hypothèses qui précèdent ne disent rien sur lanature et sur le nombre de ces équations, ce au sujet de quoi certainessuppositions qui sont faites tacitement aux lignes 11 et 12 donnent unpremier éclaircissement.Monsieur de Helmholtz demande dans ces circonstances lachose suivante, que nous pouvons exprimer ainsi : si les m pointsP 1 , P 2 , . . .P m sont fixés, il doit exister entre les n coordonnées dechaque autre point P exactement m (mais pas plus) équations, etces équations doivent généralement être indépendantes les unes desautres, c’est-à-dire, qu’elles doivent être indépendantes les unes desautres aussi longtemps que P 1 . . .P m sont des points mutuellement enposition générale * .Il suit de là tout d’abord qu’après fixation d’un point P 1 , il existeune et une seule équation pour tout autre point P ; et comme un pointindividuel ne doit avoir aucun invariant, il en découle que deux pointsont un et un seul invariant.En outre, les exigences helmholtziennes montrent qu’après fixationde m points : P 1 . . .P m qui sont mutuellement en position générale,un mouvement continu est encore toujours possible, tant que m a l’unedes valeurs 1, 2, . . ., n − 1, mais qu’au contraire, dans le cas m = n,aucun mouvement continu n’est plus possible, et qu’après fixation de npoints tels, tous les points de l’espace demeurent plutôt généralement aurepos. Si en effet les m points : P 1 . . .P m sont fixés, il existe alors entreles n coordonnées de tout autre point P en position générale m équationsindépendantes les unes des autres. Et puisque, d’après ce qui précède,lorsqu’on tient compte des hypothèses admises, ce sont les seules*Ainsi doivent être compris les mots des lignes 6–11 de l’Axiome III ci-dessus.Monsieur de Helmholtz dit ici, certes d’une manière qui n’est pas explicite, quelorsque le premier point d’un système rigide en lui-même est fixé, il doit exister uneet une seule équation pour chaque autre point ; et puisqu’il ajoute alors : « l’une deses coordonnées devient une fonction des (n − 1) coordonnées restantes », il est clairqu’il exclut l’existence de deux équations pour le deuxième point. Il résulte égalementde manière distincte de tout cela qu’après fixation de m points, alors pour tout autrepoint, il doit exister exactement m équations qui sont en général indépendantes lesunes des autres.