Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

154 3.8. Équations de structurequi sont satisfaites par les équations x ′ i = f i(x,a), puis poser :n∑ξ ki (x) ∂f = X k (f) (k = 1 ··· r)∂x ii=1et former ensuite les équations finies :r∑x ′ i = x i + λ k ξ ki (x) + · · ·k=1(i = 1 ···n)du groupe à r paramètres contenant la transformation identité qui est engendrépar les r transformations infinitésimales indépendantes X 1 f,...,X r f. Avecces données, il est alors possible, dans ces équations finies, d’introduire desnouveaux paramètres a 1 ,... ,a r à la place de λ 1 ,... ,λ r de manière à ce queles équations de transformations qui en résultent :x ′ i = Φ i(x 1 ,... ,x n , a 1 ,... ,a r ) (i =1··· n)représentent une famille de ∞ r transformations qui embrasse, après prolongementanalytique, toutes les ∞ r transformations :du groupe.x ′ i = f i (x 1 ,... ,x n , a 1 ,... ,a r )(i = 1 ···n)À l’issue de ce premier trajet fondamental que clôt la fin du Chapitre9 de la Theorie der Transformationsgruppen, les Théorème 22et 24 vont permettre dans la suite à Engel et à Lie d’identifier systématiquementtout groupe continu de transformations :x ′ i = f i(x 1 , . . .,x n ; a 1 , . . .,a r ) (i =1··· n)à une collection de transformations infinitésimales linéairement indépendantes:n∑X k (f) = ξ ki (x 1 , . . .,x n ) ∂f(i = 1 ··· n)∂x ii=1dont les coefficients ξ ki (x) sont analytiques (réels ou complexes) et quiest linéairement fermée par crochets :[ ]r∑Xj , X k = c s j,k X s (j, k = 1 ···r),s=1où les c s j,k sont des constantes. Une telle identification38 d’un groupe àdes générateurs infinitésimaux n’a pas seulement un caractère d’interchangeabilitéontologique, elle métamorphose aussi l’être d’un groupe38 Tous les énoncés précédents sont clairement et explicitement locaux, et ce seraitse méprendre sur la portée rigoureuse de la théorie de Lie que de