Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 155local arbitraire en linéarisant ses caractéristiques fondamentales. Avecces théorèmes fondamentaux, non seulement le différentiel supplante lefini, mais encore : on s’apprête à algébriser définitivement la genèse.Un point de seuil, en effet, est atteint, c’est un point de non retour :la connaissance mathématique initialement indécise et problématisantepeut à présent se décider à réenvisager l’objet « groupe continu » —maintenant moins opaque — sous un angle absolument neuf : celui destransformations infinitésimales, plus riches de virtualités et de manipulationspossibles. La genèse synthétique du concept de groupe continude transformations a donc ceci d’« irréversible » que ses caractéristiquesinitiales sont destinées à s’effacer devant l’approfondissement incessantde leur compréhension.Sur le plan algébrique, les deux seules contraintes qui s’exercentsur une collection de transformations infinitésimales sont l’antisymétriedu crochet :r∑c s j,k X s = [ ] [ ]r∑X j , X k = − Xk , X j = −c s k,j X ss=1qui se lit simplement :0 = c s j,k + c s k,j,et les identités de type Jacobi ; ces dernières sont satisfaites automatiquemententre triplets de champs de vecteurs et elles s’écrivent ici pourtous j, k, l = 1, . . .,r :0 = [ X j , [X k , X l ] ] + [ X l , [X j , X k ] ] + [ X k , [X l , X j ] ]= [ X j , ∑ r] [s=1 cs k,l X s + Xl , ∑ r] [s=1 cs j,k X s + Xk , ∑ r]s=1 cs l,j X sr∑ r∑ [= X t csk,l c t j,s + cs j,k ct l,s + ] cs l,j ct k,s ,t=1s=1s=1ce qui équivaut aux relations quadratiques :r∑ [ ]0 = csk,l c t j,s + c s j,k c t l,s + c s l,j c t k,s .s=13.9. Le problème de la classification des groupes de transformations.Pour Lie, la question dominante dans la théorie qu’il a érigéeétait de classifier, à équivalence près, tous les groupes de transformationspossibles, localement, génériquement :Classification des groupes continus finis locauxde transformations analytiques