Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 215Avec ceci, on a démontré que le groupe réel (58) satisfait toutesnos exigences, et on a maintenant trouvé en toute généralité tous lesgroupes réels qui les satisfont.Théorème 37. Si un groupe continu fini réel de l’espace des x, y, zest donné de telle sorte que relativement à lui, deux points ont un et unseul invariant et que les invariants d’un nombre de points supérieurà deux peuvent tous s’exprimer au moyen des invariants des pairesde points, alors ce groupe possède six paramètres et il est semblable[ähnlich], via une transformation ponctuelle réelle de l’espace, à l’undes onze groupes suivants :1 p, q, r, xq − yp, yr − zq, zp − xr2 p, q, r, xq − yp, yr + zq, zp + xr3 p + xU, q + yU, r + zU, xq − yp, yr − zq, zp − xr4 p − xU, q − yU, r − zU, xq − yp, yr − zq, zp − xr5 p − xU, q − yU, r + zU, xq − yp, yr + zq, zp + xr6p, q, xp + yq + cr, yp − xq + r(x 2 − y 2 )p + 2xyq + 2(cx − y)r, 2xyp + (y 2 − x 2 )q + 2(x + cy)r7p, q, xp + yq + r, yp − xq(x 2 − y 2 )p + 2xyq + 2xr, 2xyp + (y 2 − x 2 )q + 2yr8p, q, xp + r, yq + cr, x 2 p + 2xr, y 2 q + 2cyr(c ≠0)9p, q, xq + r, x 2 q + 2xr, xp + yq + crx 2 p + 2xyq + 2(y + cx)r10 p − yr, q + xr, r, xq, xp − yq, yp