Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

188 Division V. Chapitre 20. § 87.A) Détermination de tous les groupesdont le groupe réduit possède six paramètresComme nous venons de le voir, si le groupe réduit : X 1 f . . .X 6 f asix paramètres, il peut être rapporté à l’une des quatre formes suivantes10 :(I) p, q, xq, xp + yq, xp − yq, yp(II) p, q, xq, xp + yq, xp − yq, x 2 p + xyp(III) p, q, xq, xp + yq, x 2 q, x 2 p + 2xyq(IV) p, q, xp, yq, x 2 p, y 2 q.Nous devons donc examiner ces quatre cas l’un après l’autre.Premier casEn premier lieu, nous recherchons tous les groupes à six paramètresdans l’espace des x, y, z qui satisfont nos exigences formulées àla page 181 et dont les groupes réduits sont de la forme (I). Chacun deces groupes est de la forme :{ p + ϕ1 r, q + ϕ 2 r, xq + ϕ 3 r, xp + yq + ϕ 4 r(27)xp − yq + ϕ 5 r, yp + ϕ 6 r,où l’on entend par ϕ 1 . . .ϕ 6 des fonctions de x, y, z. Ainsi, nous devonsmaintenant déterminer les fonctions ϕ 1 . . .ϕ 6 de la manière la plus généralepossible pour que les transformations infinitésimales (27) constituentun groupe à six paramètres qui satisfont nos exigences formuléespage 181, et nous pouvons encore choisir la variable z d’une manièretelle que la forme des fonctions ϕ 1 . . .ϕ 6 soit la plus simple possible.On peut supposer depuis le début qu’à la place de z, on a introduitune solution de l’équation différentielle :∂f∂x + ϕ 1(x, y, z) ∂f∂z = 0qui n’est pas indépendante de z ; grâce à ce choix, la transformationinfinitésimale p + ϕ 1 r prend la forme simple : p, tandis que la forme10 Pour étudier le groupe (II), qui correspond exactement à (25) 1 , on remplace lesdeux générateurs infinitésimaux xp et yq par xp−yq et xp+yq. Ces quatre générateursdu groupe réduit X 1 , . . . , X 6 , lorsqu’il possède six paramètres, sont réécrits dans unautre ordre, adaptés à l’avance aux calculs de réduction et de normalisation du groupeX 1 , . . .,X 6 qui vont suivre.