Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 157• Déterminer [bestimmen] toutes les algèbres de Lie de dimensionfinie r de champs de vecteurs analytiques complexes locaux :n∑X k = ξ ki (x) ∂(k = 1 ··· r)∂x ii=1définies dans un certain ouvert initial U ⊂ C n ; il est permis de relocaliserles considérations un nombre fini de fois à un sous-domaine pluspetit dès qu’une opération mathématique nécessite qu’un certain objetsoit nondégénéré, ou qu’une certaine fonction soit non nulle 40 .• Rapporter chaque tel système X 1 , . . .,X r à une forme normalela plus simple possible, e.g.assurer que la plupart des coefficients sontnuls, monomiaux, égaux à des fonctions élémentaires, ou qu’ils dépendentd’un nombre de variables qui est strictement inférieur à n.• Distinguer précisément tous les systèmes possibles de champsde vecteurs en introduisant des concepts géométriques ou algébriquesindépendants des coordonnées afin de ranger tous les groupes dans descatégories et dans des sous-catégories qui soient précisément et quasiinstantanémentdiscernables par la pensée.Les problèmes de classification : un groupe de taille importante et d’unecomplexité invisible agit de manière quasiment incontrôlable sur une catégoried’objets. L’objet quelconque flotte alors, transporté passivement par les ambiguïtésde sa donation initiale. La saisie vraie en tant que telle ne peut qu’exprimerfondamentalement la mobilité unique qui est consubstantielle à l’objetqu’elle vise : le transport possible d’un être mathématique par une transformationf quelconque :f ∗( être mathématique) = le même être vu autrement,transport qui préserve la nature abstraite générale de l’être en spécifiantseulement les modes généraux par lesquels il se voit déterminé, re-déterminé,et déterminé à nouveau. Identité, symétrie et transitivité : par un acte de penséeréduit à sa plus simple expression, l’homogénéité ontologique du symbolede transformation :f ∗(f∗ (·) ) = (ff) ∗ (·) = f ∗ (·),garantit la permanence de cet être, de tous ces êtres.40 En admettant les relocalisations libres, on évite notamment de se confronter audifficile problème de trouver des formes normales pour un unique champ de vecteuranalytique X au voisinage d’un point où tous ses coefficients s’annulent, une questiontoujours non résolue et probablement non résoluble en toute généralité, mêmeen dimension n = 2. Au contraire, d’après le théorème de redressement local p. 108toute transformation infinitésimale non identiquement nulle relocalisée en un pointgénérique est localement équivalent à une unique forme normale :∂∂x 1.