Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 2. La mobilité helmholtzienne de la rigidité 61Si l’on fait abstraction des conditions aux limites et des discontinuitéséventuelles, les seules contraintes qui pourraient faire obstacle au mouvementne peuvent provenir que des équations qui sont formées avec lafonction invariante entre paires de points, par exemple si l’on demandequ’un, ou deux, ou trois points, ou plus, du corps rigide restent entièrementfixés au cours du mouvement. Ensuite, Helmholtz entreprendde « démontrer 17 » que les mouvements d’un corps rigide comprennentexactement n(n+1) degrés de liberté, et donc notamment 6 dans le cas2de l’espace physique euclidien (translations : 3 paramètres ; rotations :3 paramètres).Paradoxe : la notion de corps rigide continu comprenant une infinitéde points en cohésion n’est donc pas pleinement utilisée dans cesraisonnements. Six points au maximum sont à distinguer. En tout cas,Engel et Lie démontreront rigoureusement cet énoncé sur le nombren(n+1)de degrés de liberté, en analysant finement les hypothèses qui2étaient implicites dans les axiomes II et III. Par ailleurs, en supposantbeaucoup moins que Helmholtz 18 , le Chapitre 20 p. 166 ci-dessous commencerapar une étude purement abstraite des groupes continus de transformationspour lesquels deux points ont un, et un seul invariant, tandisque s > 2 points n’ont pas d’autre invariant que ceux qui se déduisentdes paires de points qui sont contenus en eux, et cela, d’abord dans ledomaine complexe, puis dans le domaine réel. Cette étude abstraite extrêmementrecherchée sur le plan mathématique repose sur un très grandnombre de résultats contenus dans les trois volumes de la Theorie derTransformationsgruppen.IV : Axiome de la monodromie ou de la périodicité des rotationsdes corps rigides. C’est l’axiome le plus controversé, car onverra 19 qu’il exclut trop aisément un très grand nombre de géométriespossibles, au sens de Klein et Lie, c’est-à-dire de groupes de transformations« exotiques ». Lorsque (n − 1) points d’un corps rigide sontfixés en position générale, Helmholtz prétend (comme conséquence de17 Voir le §93 p. 235 ci-dessous pour une critique de Lie et Engel.18 « Le procédé de Lie a lieu entièrement a priori », écrit Jules Vuillemin p. 420de [168].19 En infinitésimalisant le problème, Helmholtz va se ramener à considérer unsystème d’équations différentielles ordinaires dxidt= ∑ 3j=1 a ij x j d’ordre 1 à coefficientsa ij constants, et l’axiome de monodromie va directement impliquer que la matrice(a ij ) 1j31i3possède une valeur propre nulle, et deux valeurs propres imaginairesconjuguées ±i ω, ω > 0, ce qui fait que la matrice a ij représente tout simplement unerotation dans l’espace euclidien à trois dimensions.