Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 1. L’ouverture riemannienne 311.15. Genèse du multidimensionnel. Dans un tout premier moment,Riemann tente de caractériser l’unidimensionnalité initiale d’une multipliciténon discrète — dont il fera ensuite un principe fondamentalde genèse — par la propriété que ses modes continus de déterminationsont eux-mêmes déterminés 65 . D’après un raisonnement difficile à reconstituer,Riemann affirme alors que de tels modes de déterminationne peuvent alors être parcourus « que dans un seul sens », c’est-à-dire« en avant et en arrière » : c’est l’unidimensionnalité, appelée à devenirracine et principe de genèse inductive pour la multidimensionnalité.Ensuite, dyade, soudure et parcours permettent d’engendrer le bidimensionnel66 . Dyade : dédoubler l’objet un qui est donné, c’est-àdirese donner deux multiplicités unidimensionnelles ; soudure : transporterune multiplicité pour la « riveter » sur une autre en un bipointde coïncidence ; parcours : faire décrire à la seconde multiplicité unidimensionnelletoute la multiplicité unidimensionnelle de la première.Genèse : voir apparaître le bidimensionnel comme un voile créé auxfranges de l’unidimensionnel par développement continu dans un étherextrinsèque.65 Cette phrase longue et difficile ([133], pp. 283–284) semble être une tentativeinaboutie pour trouver dans la variabilité des modes de détermination d’une multiplicitédonnée des conditions si restrictives qu’elles en impliquent l’unidimensionnalité.Le caractère inachevé de ce passage n’a pas échappé à Engel et à Lie, qui étaient probablementdéjà informés, en 1891–93, des travaux naissants de Pasch, Stolz, Schur surles fondements axiomatiques de la géométrie. « La véritable signification de la propositiond’après laquelle l’espace est une variété numérique [Zählenmannigfaltigkeit] neressort pas du travail de Riemann. Riemann cherche à démontrer cette proposition,mais sa démonstration ne peut pas être prise au sérieux. Si l’on veut véritablement démontrerque l’espace est une variété numérique, on devra, à n’en pas douter, postulerauparavant un nombre non négligeable d’axiomes, ce dont il semble que Riemannn’ait pas été conscient » (p. 161 ci-dessous). Il est vrai en effet que l’élaborationd’un raisonnement véritablement synthétique nécessite de faire une différence marquéeentre hypothèses et conclusion, et de s’interroger sur la nature des hypothèsesqu’on prendra comme axiomes. Comme Riemann ne spécifie pas ce qu’il faut précisémententendre par l’idée de lieu comme essence du géométral-local-continu, lesraisonnements logiques et les démonstrations qu’il cherche à conduire pour ramenerune telle notion de lieu à des grandeurs numériques sont donc encore truffés de problèmesouverts.66 Pour de plus amples développements de cette direction de pensée, le lecteurest renvoyé à la Science de la grandeur extensive de Grassmann [64], commentée parFlament [46] et par Gilles Châtelet [27].