Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

264 Division V. Chapitre 22. § 97.mouvements non-euclidiens, car en dehors de ces trois groupes, chaquegroupe de la forme 4 :p, q, yp − xq + c (xp + yq) (c ≷0)possède effectivement encore la libre mobilité dans l’infinitésimal entout point réel qui n’est pas infiniment éloigné. Si l’on veut exclure cesgroupes, afin de ne conserver que les mouvements euclidiens et noneuclidiens,on doit donc établir un axiome spécial. Cependant, cette observationne coïncide pas avec la remarque de Monsieur de Helmholtz,d’après laquelle dans le plan, le groupe euclidien et les deux groupesnon-euclidiens ne sont pas les seuls relativement auxquels deux pointsont un et un seul invariant, tandis qu’un nombre de points supérieur àdeux n’a pas d’invariant essentiel.Nous voulons maintenant compléter les résultats acquis en recherchantaussi tous les groupes réels continus projectifs du plan qui possèdentla libre mobilité dans l’infinitésimal en un point réel de positiongénérale. La connaissance de ces groupes nous sera utile plus tard,lorsque nous envisagerons l’espace trois fois étendu.Exactement comme plus haut, nous vérifions tout d’abord quechaque groupe projectif du plan qui satisfait nos exigences est transitifet possède trois paramètres. D’après notre énumération des groupesprojectifs du plan à trois paramètres (voir p. 106), on obtient à nouveauque chacun des groupes demandés laisse invariant soit une conique, soitun point.Si une conique reste invariante, alors son équation doit être réelle,car sinon la conique imaginaire conjuguée resterait aussi invariante etnotre groupe ne pourrait pas alors être à trois paramètres.Et maintenant, puisque chaque conique dont l’équation est réelle peutêtre ramenée, via une transformation projective réelle, à l’une des deuxformes : x 2 + y 2 ± 1 = 0, ce cas-là est déjà réglé.Si d’un autre côté un point reste invariant, alors ce point ne peutpas être réel 5 , car sinon, si un point réel en position générale était fixé,chaque élément linéaire passant par ce point ne pourrait pas tourner autourde lui, et donc il n’y aurait aucun point réel de position générale4 Les courbes intégrales du troisième champ sont des spirales s’enroulant autourde l’origine, qui dégénèrent en cercles pour c = 0.5 Les transformations sont projectives, donc la droite passant par le point universellementfixe et le point P qu’on fixe en position générale serait stabilisée, ce quicontredirait la libre mobilité dans l’infinitésimal en P .