Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

160 Division V.Mais au fond, il est beaucoup plus important de s’assurer avanttout qu’on possède un système complet et suffisant d’axiomes et de notionsfondamentales, plutôt que de se demander si certains axiomes sontéventuellement superflus. Tout de même, la question de savoir jusqu’àquel point le système euclidien d’axiomes doit être enrichi ou complétéreste en attente, sans même parler de réalisation définitive. Cependant,on s’est préoccupé avec d’autant plus de zèle de la deuxième question,que les recherches récentes sur les fondements de la Géométrieont seulement été incitées à étudier la question de la démontrabilité oude la non-démontrabilité du onzième axiome d’Euclide : le postulat desparallèles.Après que plusieurs mathématiciens, notamment Legendre, ont effectuéde nombreuses tentatives infructueuses pour démontrer l’axiomedes parallèles, Lobatchevskiĭ (1829) tout d’abord et peu après Bólyai(1832) ont réussi à exposer indirectement la non-démontrabilité del’axiome des parallèles, à savoir, en laissant une géométrie se construire,dans laquelle l’axiome des parallèles n’est pas du tout utilisé. D’aprèsdes lettres anciennes de Gauss, qui ne furent à vrai dire publiées que trèstardivement, il ressort que Gauss était déjà parvenu depuis longtemps àdes résultats similaires.Aujourd’hui, on doit véritablement s’étonner que les mathématiciensaient dû s’éclairer sur la nécessité de l’axiome des parallèles seulementpar un tel détour, alors qu’un seul coup d’œil sur la surface d’unesphère aurait pu leur montrer qu’une géométrie libre de contradictionest aussi possible sans l’axiome des parallèles, une géométrie qui satisfaiten tout cas les axiomes introduits précédemment par Euclide, àl’intérieur d’un domaine choisi convenablement.Lobatchevskiĭ et Bólyai ont entièrement développé leur géométrieà la manière d’Euclide, i.e. de façon purement géométrique. Riemannfut le premier à employer des instruments analytiques, afin d’en tirerdes éclaircissements sur les fondements de la Géométrie. Malheureusement,nous ne possédons de sa main aucune présentation détaillée de sesrecherches, et nous devons nous en remettre aux explications fort succincteset souvent difficiles à comprendre que contient sa soutenanced’habilitation de 1854.Riemann place au tout début de ses recherches la propositiond’après laquelle l’espace est une variété numérique, partant que lespoints de l’espace peuvent être repérés par des coordonnées. Ensuite,