Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 1. L’ouverture riemannienne 49(δx 1 , . . .,δx n ) avec un symbole δ pour plus d’homogénéité conceptuelle,les termes d’ordre deux de la métrique s’écrivent alors commeune certaine forme quadratique :13n∑n∑i,j=1 k,l=1R i,j;k,l(δxi dx k − δx k dx i)·(δxj dx l − δx l dx j)en les coordonnées plückériennes δx i1 dx i2 − δx i2 dx i1 du 2-plan infinitésimalengendré par (dx 1 , . . .,dx n ) et (δx 1 , . . .,δx n ) basés au pointde référence. Pour obtenir la courbure de Gauss de la surface forméedes géodésiques dirigées par le 2-plan αdx+βδx (à un facteur constantprès), il suffit de diviser cette expression par le carré de l’aire infinitésimaledu triangle 0, dx, δx. Il est quasiment certain que Riemann s’estinspiré de l’énoncé similaire en dimension 2 connu par les continuateursde Gauss, et nous pouvons conclure que c’est l’exigence de représentationintuitive d’une multiplicité par des tranches bidimensionnelles quia conduit Riemann vers la courbure sectionnelle.1.20. Caractérisation des variétés localement euclidiennes. Le développementde Taylor dans des coordonnées géodésiques riemanniennesnormales offre l’accès le plus direct aux composantes de courbure, maiscette approche présente l’inconvénient d’être confinée à un seul point.Dans la deuxième et dernière partie de la Commentatio ([132], pp. 380–383), Riemann cherche à réduire l’équation différentielle de la conductionde la chaleur :∑(∂ ∑)∂ub ij = h ∂u∂si i ∂sj j ∂tà une forme la plus simple possible. Il ramène alors ce problème à latransformation d’une métrique quadratique :∑ι, ι ′ b ι, ι ′ ds ι ds ι ′en une métrique plate euclidienne ∑ ι,ι ′ a ι, ι ′ ds ι ds ι ′ dont tous les a ι, ι ′sont constants, métrique qui est donc équivalente à ds 2 1 + · · · + ds2 n . Parun calcul assez elliptique, Riemann trouve la condition nécessaire quepour toute collection de quatre indices ι, ι ′ , ι ′′ , ι ′′ , l’expression suivante :(I)0 = ∂2 b ι, ι ′′∂s ι ′∂s ι ′′′∑+ 1 2+ ∂2 b ι ′ , ι ′′′∂s ι ∂s ι ′′− ∂2 b ι, ι ′′′∂s ι ′∂s ι ′′− ∂2 b ι ′ , ι ′′∂s ι ∂s ι ′′′ν, ν ′ (pν, ι ′ , ι ′′′ p ν ′ , ι, ι ′′ − p ν, ι, ι ′′′ p ν ′ , ι ′ , ι ′′ ) β ν, ν ′B ,