Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 147Cette présomption serait changée en certitude si l’on pouvait, pourtout système de telles transformations infinitésimales X 1 , . . .,X r , réussirà produire r autres transformations infinitésimales auxiliaires(9) A k (f) =r∑µ=1˜ψ kµ (a 1 , . . .,a r ) ∂f∂a µ(k = 1 ···r)en des variables auxiliaires (a 1 , . . .,a r ) destinées à jouer le rôle de paramètres,et qui satisfassent en outre bien sûr les relations correspondantes:(A k Aj (f) ) (− A j Ak (f) ) r∑= c kjs A s (f),sans que le déterminant ∑ ± ˜ψ 11 · · · ˜ψ rr ne s’annule. Ce troisième momentest lui aussi riche d’une métaphysique génétique où Lie se révèlesurprenant d’inventivité.Comme il n’est question que de l’espace des variables x 1 , . . .,x ndans les transformations infinitésimales données :X k (f) =n∑i=1ξ ki (x) ∂f∂x is=1(k = 1 ··· r),on ne voit pas bien comment engendrer, presque ex nihilo, une essenceparamétrique. Choisir tout simplement A 1 := X 1 , . . ., A r := X r eny remplaçant la variable x par la variable a ne marche certainementpas, puisqu’il n’y a aucune raison que le nombre r de paramètres soitégal à la dimension n. À vrai dire, dès que r > n, les r transformationsinfinitésimales sont nécessairement linéairement dépendantes entout point x 0 fixé, tandis que les r transformations auxilaires du type (9)recherchées pour pouvoir appliquer le Théorème 23 doivent être linéairementindépendantes en tout a 0 fixé, puisque la matrice des ˜ψ kµ (a) doitêtre inversible. Cette dépendance linéaire, inévitable lorsque r > n, estd’ailleurs le défaut le plus gênant de X 1 , . . .,X r .L’idée (remarquable) de Lie consiste à considérer l’action dugroupe, non pas sur les points x pris un à un dans l’espace initial, maissur les collections d’un certain nombre k de points en simultané, ou, cequi revient au même, sur les points pris un à un dans le produit de kcopies de cet espace. Introduisons donc à cet effet un nombre, ici exactementégal à r pour les besoins indiqués, de copies de l’espace initial,ces copies étant chacunes munies de coordonnées notées :((µ))x 1 , . . ., x n(µ) (µ = 1 ···r).