Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

82 Trois principes de pensée qui gouvernent la théorie de Liethéorèmes de classification, autorisent un certain nombre de telles relocalisations,souvent sans aucune mention de la part de Engel et Lie,un tel acte de pensée étant considéré comme justifié à l’avance par lanécessité d’étudier en premier lieu les objets génériques, eux-mêmesdéjà extrêmement riches et diversifiés.Toutefois, lorsque nous traduirons et ré-énoncerons au Chapitre 5les principaux (et magistraux) théorèmes de classification qui, dans leTome III, précèdent les solutions complexes qu’Engel et Lie apportentau problème de Riemann-Helmholtz, nous rappellerons explicitement,précisément et rigoureusement toutes les hypothèses de généricité quisont requises pour la validité des résultats, afin qu’il ne subsiste aucuneambiguïté d’interprétation pour le lecteur contemporain.Ne nommer aucun domaine d’existence : Sans introduire de dénominationou de notation spécifique, Engel et Lie écrivent ordinairementle voisinage [der Umgebung] d’un point (ou au sens absolu), dela même manière que l’on parle du voisinage d’une maison, ou des environsd’une ville, tandis que la topologie contemporaine conceptualiseun voisinage (habituellement « petit »), parmi une infinité de voisinagesexistants. Contrairement à ce que la mythologie formaliste du20 ème siècle aime à faire accroire depuis les controverses entre les géomètresde Leipzig et l’école de Berlin, Engel et Lie ont toujours misen évidence, lorsque c’était nécessaire, la nature locale des concepts dela théorie des groupes de transformations. Nous illustrerons notammentcette constatation en étudiant les tentatives que Lie a entreprises pouréconomiser l’axiome d’existence des éléments inverses dans sa théoriedes groupes continus de transformations (§ 4.3). Certes, il est vrai queles résultats de Lie, gagneraient en précision technique à être énoncésen spécifiant tous les domaines d’existence, mais il est plausible queEngel et Lie ait rapidement réalisé que le fait de ne pas donner de nomaux voisinages, et d’éviter de la sorte tout symbolisme essentiellementsuperflu, était le moyen le plus efficace pour conduire à leur terme desthéorèmes de classification de grande envergure.En conséquence, nous adopterons le style (économique) de penséede Engel et Lie, et nous présupposerons, sans pour autant effectuer desrappels fréquents, que :• tous les objets mathématiques sont analytiques ;• les relocalisations génériques sont librement autorisées ;• les ensembles ouverts sont souvent petits, rarement nommés,non vides, et toujours connexes.