Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 111qui s’insère plus généralement dans l’équivalence fonctionnelle entrele différentiel infinitésimal et le local fini, tout en développant les premierséléments d’une théorie géométrique du mouvement. Toutefois,cette équivalence ne saurait s’affirmer comme principe d’égalité absolueentre deux êtres initialement distincts qui deviendraient par là-mêmestrictement interchangeables. Comme dans toute autre équivalence mathématique,l’ontologie est interrogation en devenir sur la structure etsur la constitution d’un être mathématique problématique. À travers leséquivalences que l’être mathématique découvre à son propre sujet parl’analyse ou par la synthèse, l’être vise en effet à se déployer dans desespaces neufs qui soient propices à révéler sa nature intrinsèque, en supprimanttoutes les formes d’arbitraire et de non-compréhension dont estentachée sa donation initiale.À strictement parler, aucun énoncé mathématique d’équivalenceentre deux concepts ou entre deux conditions spécifiques n’est réellementtransparent dans une double circulation du sens. L’équivalence, enmathématiques, transcende tout concept logique ou méta-mathématiquede termes formels syntaxiquement substituables.En vérité, dans l’équivalence, il doit se manifester un différentielsynthétiquedu potentiel interrogatif, comme par l’effet d’une révélationprogressive qui autoriserait à oublier presque définitivement le membreinitial de l’« équivalence » pour ne retenir que le membre final, plus rapproché,bien que peut-être encore fort éloigné, de l’essence de la chose àcomprendre. Quant au choix de brisure de symétrie dans l’équivalence,c’est-à-dire quant au choix de l’initial et du final dans l’équivalence enquestion, c’est bien sûr le concept de transformation infinitésimale quidoit en quelque sorte éliminer le concept de groupe local à un paramètre,pour s’y substituer comme objet d’étude principal. Et c’est effectivementce que Lie affirmera systématiquement dans ses travaux :grâce à l’équivalence en question, on peut mettre entre parenthèses l’interventionde l’analyse comme procédé d’intégration pour se concentrerseulement sur la classification des transformations infinitésimales. L’infinitésimalse substitue au fini, car il est plus simple : il est linéaire.À vrai dire, si l’on accepte comme Lie les règles de la généricitécomme hypothèse générale d’étude (cf. p. 80), le théorème de redressementmontre que le concept de transformation infinitésimale individuelleest entièrement circonscrit. En effet, toute transformation infinitésimalese réduit au champ de vecteurs le plus simple possible :∂∂x 1,somme réduite à un seul terme, dérivation le long d’un seul axe de coordonnées,avec un coefficient constant égal à 1. L’infinitésimalisation