Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

256 Division V. Chapitre 21. § 96.xy c = 0, mais cela est impossible, car après fixation de l’origine descoordonnées, tous les points de la droite : x = y = 0 restent en généralau repos (voir p. 205).Par conséquent, le groupe (38) est lui aussi exclu, sans qu’on soitobligé de se préoccuper de l’axiome de monodromie.Qui plus est, notre première exigence n’est même encore jamaissatisfaite par le groupe :⎧p, q, xp + yq + ar, yp − xq + r,⎪⎨(39) (x 2 − y 2 ) p + 2xyq + 2(ax − y) r⎪⎩2xyp + (y 2 − x 2 ) q + 2(x + ay) r,puisque l’équation (33) correspondante ne fournit en effet pas toujoursune véritable équation entre x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 , lorsqu’on pose : x 0 2 =x 0 1, y 0 2 = y 0 2.Il en va autrement pour le groupe :⎧p, q, xp + yq + r, yp − xq⎪⎨(40) (x 2 − y 2 ) p + 2xyq + 2xr⎪⎩2xyp + (y 2 − x 2 ) q + 2yr.Pour celui-ci, l’équation (33) s’écrit en effet :{(x2 − x 1 ) 2 + (y 2 − y 1 ) 2} e −(z 1+z 2 ) == { (x 0 2 − x0 1 )2 + (y 0 2 − y0 1 )2} e −(z0 1 +z0 2 ) ,et ceci constitue toujours une équation véritable entre x 1 , y 1 , z 1 ,x 2 , y 2 , z 2 . Notre première exigence est donc satisfaite ; mais ladeuxième ne l’est pas.En effet, l’équation (34) s’écrit maintenant :(x 2 + y 2 ) e −z = (x 2 0 + y 2 0) e −z 0,et si notre deuxième exigence devait être satisfaite, après fixation del’origine des coordonnées, alors par exemple, chaque point x 0 , y 0 , z 0pour lequel x 0 = y 0 = 0 devrait pouvoir être transformé encore en tousles autres points qui satisfont l’équation : x 2 + y 2 = 0 ou encore, puisqu’ils’agit de quantités réelles, les deux équations : x = y = 0. Maiscela est impossible, car, en même temps que l’origine des coordonnées,tous les points de la droite : x = y = 0 restent généralement au repos.Par conséquent, les groupes (39) et (40) n’entrent pas non plus enligne de compte.