Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Première solution au problème de Riemann-Helmholtz. 261suite les mots : « possédant des transformations inverses par paires »,et ces mots seront ainsi à chaque fois sous-entendus.Dans le présent chapitre nous allons répondre à cette questiond’une manière telle que nous nous limiterons aux propriétés qui se réfèrentà des points infiniment voisins. Nous allons introduire un nouveauconcept, à savoir le concept de libre mobilité dans l’infinitésimal, etnous montrerons que chaque groupe réel continu agissant sur un espacedont la dimension est strictement supérieure à deux qui possède la libremobilité dans l’infinitésimal en un point de position générale est semblable,via une transformation ponctuelle réelle de l’espace en question,soit au groupe des mouvements euclidiens, soit à l’un des deux groupesde mouvements non-euclidiens de l’espace en question. Par conséquent,il sera alors démontré que les propriétés que nous aurons réunies dansle concept de libre mobilité dans l’infnitésimal, seront des propriétéscaractéristiques telles que celles que nous recherchons * .Dans le § 97 nous prendrons tout d’abord en considération le plan,dans lequel, à vrai dire, le concept de libre mobilité dans l’infinitésimalne suffit encore pas pour caractériser les mouvements euclidiens etnon-euclidiens. Dans le § 98, nous traiterons de l’espace ordinaire troisfois étendu, et dans le § 99, de l’espace à un nombre quelconque de dimensions.Dans le § 100 enfin, nous étudierons brièvement les liens quiexistent entre nos développements et ceux de Riemann.§ 97.Soit G un groupe réel continu d’un espace quelconque et soit Fune figure quelconque dans cet espace. Alors, si G contient un sousgroupecontinu à au moins un paramètre par l’action duquel la figureF reste invariante, nous voulons dire qu’après fixation de F , un mouvementcontinu est encore possible par le groupe G. Si au contrairele plus grand sous-groupe continu de G qui laisse F invariante estseulement constitué de la transformation identique, alors nous disonsqu’après fixation de F , plus aucun mouvement continu n’est possible.En utilisant une telle manière de s’exprimer, nous définissonsmaintenant ce que nous entendons par « libre mobilité dans l’infinitésimal» pour un plan.Définition. Un groupe réel continu du plan possède la libre mobilitédans l’infinitésimal en un point réel P lorsque les conditions suivantessont remplies : Après fixation de P , un mouvement continu doit*Ce qui suit est une refonte de l’étude que Lie a conduite aux pages 284 à 321du Leipziger Berichte de 1890.