Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

88 3.2. Concept de groupe de Lie localtechnique qui exige, en toute rigueur, de préciser quand et comment l’ondoit rapetisser les ouverts dans lesquels les objets sont définis. Dansles premières pages de la Theorie der Transformationsgruppen, Engelet Lie exposent le principe général des voisinages emboîtés, avant dechoisir de se dispenser de les nommer afin d’alléger la présentation.En dimension n 1 arbitraire, un groupe continu fini de transformationssur C n est une famille de transformations ponctuelles analytiquesparamétrée par un nombre fini r de paramètres :x ′ i = f i(x 1 , . . .,x n ; a 1 , . . .,a r )(i = 1 ···n)qui satisfait les trois propriétés suivantes.Loi de composition : À chaque fois qu’elle est bien définie, la successionx ′ = f(x; a) et x ′′ = f(x ′ ; b) de deux telles transformations, à savoir :x ′′ = f ( f(x; a); b ) = f(x; c)s’identifie toujours à une transformation de la même famille, pour uncertain nouveau paramètre :c = m(a, b)qui est défini de manière précise et unique par une certaine applicationanalytique locale m : C r × C r → C r , laquelle, de son propre côté,hérite automatiquement de la propriété d’associativité qu’ont les difféomorphismespar composition :m ( m(a, b), c ) = m ( a, m(b, c) ) .Existence d’un élément identité : Il existe un paramètre spécial e =(e 1 , . . .,e r ) tel que f(x; e) ≡ x se réduit à l’application identique.Loi de multiplication de groupe sous-jacente : L’application analytique(a, b) ↦−→ m(a, b), qui peut aussi être écrite de manière alternative etplus brève en utilisant un symbole de type multiplication : (a, b) ↦−→a · b, est une loi de groupe continue, au sens où :• Pour tout a, on doit avoir : a · e = e · a = a, une propriété quidécoule en fait de la loi de composition :f(x; a · e) = f ( f(x; a); e ) = f(x; a) = f ( f(x; e); a ) = f(x; e · a),grâce à l’unicité postulée à l’instant de c = a · b.• De même, l’associativité héritée (a · b) · c = a · (b · c) doit valoir.• Existence d’éléments inverses : Enfin, comme dernier axiomequi ne s’avère pas être conséquence élémentaire de la loi de multiplicationde groupe, il doit exister un difféomorphisme local analytique