Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 107avec la condition initiale x i (0) = x i , la valeur au temps t de la solutionétant justement exp(tX)(x). Or le flot est un groupe à un paramètre dedifféomorphismes locaux :exp(t 2 X) ( exp(t 1 X)(x) ) = exp ( (t 1 + t 2 )(X) ) (x),l’identité correspondant au paramètre t = 0 et l’inverse de x ↦→exp(tX)(x) étant tout simplement x ↦→ exp(−tX)(x).Soit donc maintenant x ′ i = f i(x; a) un groupe continu de transformations(au sens de Lie) à un seul paramètre a ∈ C (ou bien a ∈ R)pour lequel la transformation identique correspond au paramètre a = 0.Les équations différentielles fondamentales (5) ci-dessus :dx ′ ida = ψ(a) · ξ i(x ′ 1, . . .,x ′ n)(i = 1 ···n)consistent alors en un système d’équations différentielles ordinairesdu premier ordre paramétrées par a. Mais en introduisant le nouveau« paramètre-temps » défini par :t = t(a) :=∫ a0ψ(ã) dã,on peut transférer immédiatement ces équations différentielles fondamentalesvers un système de n équations différentielles ordinaires donttous les seconds membres deviennent indépendants du temps :dx ′ i(1)dt = ξ i(x ′ 1, . . ., x ′ n) (i = 1 ··· n).L’intégration revient par conséquent à calculer le flot du champ de vecteurs:n∑X ′ := ξ i (x ′ ) ∂ ,∂x ′ ii=1vu dans l’espace des (x ′ 1 , . . .,x′ n ). Avec les mêmes lettres f i, nous écrironsf i (x; t) à la place de f i (x; a(t)) en supposant que ce changementde paramètre a déjà été exécuté. Alors en fait, l’unique solution dusystème (1) avec la condition initiale x ′ i (x; 0) = x i n’est autre quex ′ i = f i (x; t) : le flot était donné et connu depuis le début. De plus,l’unicité du flot et le fait que les coefficients ξ i sont indépendants de timpliquent tous deux que la loi de composition de groupe correspondalors juste à l’addition des paramètres « temporels » :(2) f i(f(x; t1 ); t 2 ) ≡ f i (x; t 1 + t 2 ) (i =1··· n).