Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 2. La mobilité helmholtzienne de la rigidité 77par le facteur de dilatation : tout mouvement s’effectue en spirale, sanspériodiser.Enfin, la septième et dernière transformation infinitésimale : y p −x q engendre le groupe des rotations, qui convient parfaitement.L’utilisation de la deuxième pièce maîtresse est encore plus magistrale.Dans les chapitres précédents du Volume III de la Theorieder Transformationsgruppen, Engel et Lie avaient en effet déjà classifiétoutes les sous-algèbres de Lie de l’algèbre de Lie pgl 2 (R) dugroupe projectif réel en dimension deux. Il leur suffit alors d’examiner,dans cette liste remarquable et complète, seulement les algèbresde Lie à deux ou trois paramètres pour exclure systématiquement toutescelles qui contiennent une transformation infinitésimale de l’une des sixformes précédentes. Cet examen presque instantané montre qu’il existeun seul groupe projectif réel à trois paramètres qui convient, à savoir :p + x (x p + y q), q + y (x p + y q), y p − x q,et ce groupe n’est autre que le projectivisé du groupe des rotations dansl’espace à trois dimensions, à une seule ambiguïté près : la présenceéventuelle d’un facteur de dilatation qui aurait disparu par projectivisation.Autrement dit, si on revient aux coordonnées homogènes initiales(x ′ 1 , x′ 2 , x′ 3 ), les trois générateurs de l’isotropie linéarisée doivent forcémentêtre de la forme :x ′ µ p ′ ν − x ′ ν p ′ µ + α µν (x ′ 1 p ′ 1 + x ′ 2 p ′ 2 + x ′ 3 p ′ 3)(µ, ν = 1, 2,3; α µν + α νµ =0).Mais alors un simple examen de la condition que ces trois transformationsinfinitésimales doivent être fermées par crochet montre (voir lanote p. 252 ci-dessous) que toutes les constantes α µν doivent en faitêtre nulles. En définitive, Engel et Lie ont essentiellement 45 redémontréla proposition de Helmholtz p. 73 avec de purs moyens de théorie desgroupes.Maintenant que l’isotropie linéarisée est caractérisée et connue,il reste à rechercher tous les groupes transitifs à six paramètres dontl’isotropie linéarisée est constituée du groupe des rotations euclidiennesdans l’espace :x ′ 1 p′ 2 − x′ 2 p′ 1 , x′ 1 p′ 3 − x′ 3 p′ 1 , x′ 2 p′ 3 − x′ 3 p′ 2 .45 Rappelons toutefois que les hypothèses sont légèrement différentes.