Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Deuxième solution au problème de Riemann-Helmholtz. 299Par G, nous voulons entendre un groupe continu fini ou infini quelconquequi est engendré par des transformations infinitésimales et quisatisfait les Axiomes III et IV.Puisque les équations (6) sont identiquement réalisées pour : x 1 =x 0 1, x 2 = x 0 2, x 3 = x 0 3, il y a toujours, parmi l’ensemble de tous lespoints réels : x 1 , x 2 , x 3 qui satisfont l’équation (6), une famille continuenon divisée en plusieurs parties, dans laquelle est contenu le point :x 0 1, x 0 2, x 0 3. D’après l’Axiome III, cette famille de points forme (en général)une surface passant par le point : x 0 1, x 0 2, x 0 3 (il est cependant imaginableaussi qu’elle se réduise à une courbe passant par ce point, voire àce point lui-même). Quoi qu’il en soit, nous voulons l’appeler une pseudosphèreappartenant au groupe G, et pour préciser, une pseudosphèrede centre : y1, 0 y2, 0 y3 0 (cf.p. 171).Notre Axiome III exprime maintenant visiblement qu’une pseudosphèrede centre : y1 0, y0 2 , y0 3 ne passe jamais par son centre. En celaréside le fait que deux points séparés restent aussi séparés, quand toutesles transformations de G agissent, et donc que deux points finiment éloignésl’un de l’autre ne peuvent jamais être transformés en deux pointsinfiniment voisins (cf.p. 290).Mais notre Axiome IV peut à présent être exprimé de la manièresuivante : autour du point : y1, 0 y2, 0 y3, 0 une région finie trois fois étenduepeut être délimitée de telle sorte qu’après fixation du point : y1, 0 y2, 0 y3,0chaque autre point réel de la région peut se mouvoir de manière complètementlibre sur la pseudosphère centrée en le point : y1 0, y0 2 , y0 3 quipasse par lui.Avant de passer à la détermination de tous les groupes G qui satisfontnos axiomes, nous voulous encore comparer en peu de mots nos axiomes auxaxiomes helmholtziens.Dans ses axiomes, Monsieur de Helmholtz demande réellement plus quenous, même quand on fait complètement abstraction de son axiome de monodromie.Comme cela a été démontré auparavant, il découle en effet de ses troispremiers axiomes que les mouvements forment en général un groupe continufini, qui est engendré par des transformations infinitésimales ; toutefois, nousdemandons simplement dans notre Axiome II que les mouvements forment ungroupe continu engendré par des transformations infinitésimales, donc nousn’excluons pas depuis le début la possibilité que le groupe soit infini. D’autrepart, nos Axiomes III et IV exigent essentiellement moins que le troisièmeaxiome helmholtzien.En effet, alors que Monsieur de Helmholtz exige que chaque point soitmobile d’une manière parfaitement libre, tant qu’il n’est pas restreint par les