Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

276 Division V. Chapitre 22. § 100.courbe peu véritablement, aussitôt que la mesure de courbure est partoutconstante, être rapportée à la forme indiquée par Riemann. Maisjustement, les considérations de Riemann sur la mobilité des figuressemblent avoir peu ou pas du tout attiré l’attention, bien que ces considérationssoient précisément d’une importance toute particulière pour laconception de Riemann au sujet de la question sur les fondements de lagéométrie. D’un autre côté, il y a aussi encore par ailleurs une série depassages dans le discours de Riemann dont un éclaircissement urgentest souhaitable [dringend zu wünschen ist].Il serait très méritoire que quelqu’un se soumît à l’effort de suivrepas à pas l’enchaînement des idées de Riemann et répondît, autant quepossible, aux diverses questions qu’on peut alors s’imposer [die sich daaufdrängen]. Nous n’avons toutefois pas l’intention de réaliser cela, etnous nous contenterons de quelques indications, qui nous l’espérons,pourront contribuer à stimuler un tel travail à fond des pensées riemanniennes.Comme nous l’avons déjà mentionné auparavant, Riemann s’imagineen premier lieu que les points de l’espace n fois étendu sont déterminéspar n coordonnées x 1 . . .x n . Nous avons dit à ce moment-là(voir p. 161), que Riemann a cherché à démontrer cela. Mais peut-êtreavons-nous fait ainsi du tort à Riemann.On peut aussi interpréter cela en disant que Riemann considéraitque la déterminabilité des points par des coordonnées est une chosequi va de soi. Monsieur de Helmholtz semble admettre que Riemann aétabli l’hypothèse en question en tant qu’axiome * .Afin de pouvoir effectuer des déterminations de mesure à l’intérieurd’un espace n fois étendu, Riemann établit comme l’hypothèse laplus simple que chaque ligne, donc chaque variété une fois étendue, estmesurable au moyen de chaque autre ** . Pour une réalisation effective dumesurage [Messung], il est ensuite nécessaire de posséder une expressionpour la longueur d’un élément courbe, donc une expression pourla longueur d’un morceau infiniment petit de ligne entre deux points infinimentvoisins x ν et x ν + dx ν . Il pose à l’avance que cette longueurd’un élément courbe est une fonction homogène du premier degré endx 1 . . .dx n , qui reste inchangée lorsque tous les dx ν changent de signe,et qui en outre dépend encore de x 1 . . .x n .* voir Gött. Nachr. 1868, p. 198.**voir RIEMANN, ges. Werke, 1. Ausg., p. 258 sq.