Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 143représentent alors, comme nous allons maintenant le démontrer, ungroupe à r paramètres, et en fait naturellement, un groupe contenantla transformation identique, car pour a k = a 0 k , on a x′ i = x i.Tout d’abord, on a identiquement :(6)n∑ν=1ξ jν (x ′ ) ∂F i∂x ′ ν+r∑µ=1(i = 1 ···n; j = 1 ···r).ν=1˜ψ jµ (a) ∂F i∂a µ= 0D’un autre côté, en différentiant x i = F i (x ′ , a) par rapport à a µ , onobtient l’équation :n∑ ∂F i ∂x ′ ν0 = + ∂F i,∂x ′ ν ∂a µ ∂a µqui est satisfaite identiquement après la substitution x ′ ν = f ν (x, a).Multiplions cette équation par ˜ψ jµ (a) et sommons pour µ allant de 1jusqu’à r, ce qui nous donne une équation qui devient, en tenant comptede (6) :n∑ν=1∂F(ir∑∂x ′ ν µ=1)˜ψ jµ (a) ∂x′ ν− ξ jν (x ′ ) = 0∂a µ(i = 1 ···n; µ=1···r).Mais comme le déterminant ∑ ± ∂F 1∂x ′ 1donc en déduire les équations :r∑˜ψ jµ (a) ∂x′ ν= ξ jν (x ′ )∂a µµ=1. . . ∂Fn∂x ′ nne s’annule pas, on peut(j =1··· r ; ν = 1, ..., n),qui forment alors un système que nous pouvons à nouveau résoudre parrapport aux ∂x′ ν∂a µ, puisque par hypothèse, le déterminant de ˜ψ jµ (a) nes’annule pas. Ainsi, nous obtenons finalement des équations différentiellesde la forme 37 :∂x ′ r∑ν= ψ µj (a 1 , . . .,a r ) · ξ jν (x ′(7) ∂a1, . . .,x ′ n)µj=1(ν = 1 ···n ; µ=1···r)37 Moment crucial : des équations différentielles fondamentales du type déjà rencontrésont à présent reconstituées, et c’est grâce à elles que la structure de groupefermé par composition va pouvoir renaître plus bas.