Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

268 Division V. Chapitre 22. § 98.paramètres et il laisse invariante une conique imaginaire d’élémentslinéaires dont nous pouvons nous imaginer l’équation rapportée à laforme :(3) dx 2 1 + dx 2 2 + dx 2 3 = 0,via une transformation linéaire homogène en dx 1 , dx 2 , dx 3 .En appliquant cela au groupe G, on obtient avant tout que G està six paramètres. Si en effet l’on fixe le point P , ainsi qu’un élémentlinéaire réel passant par P et un élément de surface réel quelconque quiles contient tous deux, alors les paramètres de G seront ainsi soumis àexactement 3+2+1 = 6 conditions, ce qui découle de la transitivité deG et de la propriété de g qu’on a décrite plus haut. Mais alors, commed’après les hypothèses qu’on a justement posées, plus aucun mouvementcontinu n’est encore possible, le nombre de ces paramètres doitêtre précisément égal à six.En outre, il est clair qu’après fixation de P , le groupe transitif àsix paramètres G transforme les ∞ 2 éléments linéaires réels par uneaction à trois paramètres, et pour préciser, de telle sorte que reste invarianteune conique imaginaire du second degré constituée d’élémentslinéaires. Si donc nous nous imaginons P transféré sur l’origine descoordonnées via une transformation ponctuelle réelle, et si ensuite onproduit une transformation linéaire homogène réelle en x 1 , x 2 , x 3 pourque la conique d’éléments linéaires rattachée à P soit représentée parl’équation (3), alors G reçoit une nouvelle forme telle que dans le voisinagede l’origine des coordonnées, il contient six transformations infinitésimalesindépendantes de la forme :p 1 + · · · , p 2 + · · · , p 3 + · · · ,x µ p ν − x ν p µ + α µν (x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 ) + · · ·(µ, ν = 1,2, 3; µ < ν).Comme G est à six paramètres, les constantes réelles α µν doivent icitoutes s’annuler ensemble, comme on s’en convainc aisément en calculantles crochets.Le groupe G appartient donc aux groupes réels que nous avonsdéterminés aux pages 385 sq. ; comme il est à six paramètres, nous obtenonsle théorème suivant.Théorème 40. Si un groupe réel continu de l’espace trois foisétendu possède la libre mobilité dans l’infinitésimal en un point de positiongénérale, alors il est transitif à six paramètres et il est équivalent,via une transformation ponctuelle réelle de cet espace, soit au groupe