Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

278 Division V. Chapitre 22. § 100.que les deux points x ν et y ν aient un invariant. Cela est encore montré par legroupe (22) de R 3 mentionné à la page 242 :q, xq + r, x 2 q + 2xr, x 3 q + 3x 2 r, p, xp − zr.En effet, par son action les deux points infiniment voisins x,y,z et x + dx,y + dy, z + dz ont l’invariant : dy − z dx, alors que deux points finimentéloignés l’un de l’autre n’ont aucun invariant.On peut bien sûr encore penser que les choses se passent tout autrementsi, avec Riemann, on ajoute l’hypothèse que la longueur ω(x,dx) d’un élémentcourbe ne modifie pas sa valeur, lorsque tous les dx ν changent de signe. Dansce cas, on ne peut rien déduire de l’exemple donné à l’instant, car dans cescirconstances, l’invariant : dy − z dx ne satisfait pas l’exigence de Riemann.Nous voulons cependant ne pas donner suite aux questions suggérées par cela.Poursuivons notre rapport sur l’enchaînement des idées deRiemann.Riemann pose donc à l’avance qu’il y a une fonction :Ω ( )x 1 . . .x n ; x 0 1 . . .x 0 nqui a la même valeur pour tous les points qui sont aussi lointainementdistants de x 0 1 . . .x0 n . Comme cela semble être le cas, le concept généralde fonction distance dans une variété n fois étendue apparaît ici pour lapremière fois.Au sujet de la fonction Ω, Riemann suppose qu’en tant que fonctionde x 1 . . .x n , dans un voisinage du système de valeurs : x 0 1 . . .x0 n ,elle croît de tous les côtés, et par conséquent, elle a un minimum pour :x ν = x 0 ν ; il admet de plus que ses quotients différentiels du premier etdu deuxième ordre sont tous finis pour x ν = x 0 ν . Sous ces hypothèses, lapremière différentielle de Ω doit s’annuler pour x ν = x 0 ν et la seconde :d 2 Ω =∑1...nµ ν∂ 2 Ω∂x µ ∂x νdx µ dx νne doit devenir négative pour aucun système de valeurs : dx 1 . . .dx n ,lorsqu’on substitue : x ν = x 0 ν .Riemann se restreint à la considération du cas où la différentielled 2 Ω se transforme, pour x ν = x 0 ν, en une forme quadratique constammentpositive par rapport à dx 1 . . .dx n . Le carré de la longueur ds d’unélément courbe appartenant au point x 0 1 . . . x0 n ne peut alors se distinguer