Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

34 1.16. Conditions pour la détermination des rapports métriquesf = const.f = const 1f = const 2Ces multiplicités, lorsqu’on fait varier la fonction, se transformentd’une manière continue les unes dans les autres ; on pourra donc admettreque l’une d’entre elles engendre les autres, et cela pourra avoirlieu, généralement parlant, de telle façon que chaque point de l’une setransporte en un point déterminé de l’autre. [133], pp. 284–285.Ainsi par décomposition, Riemann parvient-il en utilisant des fonctionsauxilaires, à montrer que l’analyse du concept de multiplicité reconduitexactement au premier procédé de genèse : amplification de la variabilitépar variation inductive de la variabilité.En conclusion, que ce soit par l’analyse ou par la synthèse, « ladétermination de lieu dans une multiplicité donnée, quand cela est possible,se réduit à un nombre fini de déterminations de quantité 68 » : cequ’il fallait démontrer.Contrairement aux définitions axiomatiques, Riemann a donc entreprisd’engendrer le multidimensionnel à partir de l’unidimensionnel,et surtout il a tenté d’articuler la genèse comme une démonstration procédantpar des conditions variées. Helmholtz quant à lui, puis Russell([137]) et Vuillemin ([168], pp. 388–464), envisageront le problèmesous l’angle de la postulation d’axiomes, pourtant moins problématisant,et moins riche d’imprévisible. Pour terminer sur ce chapitre, notonsà nouveau que Riemann ne peut se soustraire à un devoir constantde manifester le souci abstrait d’ouverture.Toutefois il y a aussi des multiplicités dans lesquelles la déterminationde lieu exige, non plus un nombre fini, mais soit une série infinie,soit une multiplicité continue de déterminations de grandeur. Telles sont,par exemple les multiplicités formées par les déterminations possiblesd’une fonction dans une région donnée, par les formes possibles d’unefigure de l’espace, etc. [133], p. 285.1.16. Conditions pour la détermination des rapports métriques.Après avoir libéré la notion archaïque d’étendue de toute saisiemétrique, il s’agit maintenant de traiter le deuxième sous-problème(cf. p. 30), que Riemann reformule comme suit :68Engel et Lie appelleront « variétés numériques » [Zählenmannigfaltigkeit] lesmultiplicités introduites par Riemann.