Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

206 Division V. Chapitre 20. § 89.ce qui montre, grâce à la Proposition 2 p. 510 du Tome I, que cesgroupes sont systatiques ; on peut aussi s’en convaincre directement,puisque pour chacun des groupes [1] . . . [4], les transformations infinitésimalesqui fixent un point x 0 , y 0 , z 0 en position générale laissent enmême temps au repos la droite : x = x 0 , y = y 0 .Enfin, mentionnons encore que par l’action des groupes [1], [2],[3], les ∞ 2 éléments linéaires qui passent par chaque point fixé en positiongénérale se transforment de trois manières différentes, mais seulementde deux manières par l’action du groupe [4] ; c’est précisémentparce que le groupe [4] renferme, dans le voisinage de chaque point :x 0 , y 0 , z 0 en position générale, une transformation infinitésimale du secondordre en : x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 .On pourrait se demander si les groupes [1], [2], [4], qui ne sontpas présentés sous forme projective, sont transformables en des groupesprojectifs par un choix approprié de coordonnées x, y, z. Pour le groupe[4], la réponse à cette question est très certainement non, car s’il devaitse transformer en un groupe projectif, la transformation infinitésimaledu second ordre qu’il renfermerait dans le voisinage du point : x = y =z = 0 en position générale devrait être de la forme 4 :(λ x + µ y + ν z)(xp + yq + zr)+ · · · ,où les termes supprimés sont d’ordre trois et d’ordre supérieur enx, y, z ; mais comme cette condition nécessaire n’est pas remplie, legroupe [4] ne peut sûrement pas être semblable à un groupe projectif.§ 89.Résolution du problème pour les groupes réels.Jusqu’à maintenant, nous avons considéré les variables x, y, zcomme des quantités complexes. À présent, nous voulons les limiterau domaine des nombres réels et nous voulons résoudre le problèmeposé dans l’introduction de ce chapitre, en supposant que les groupessont réels et que seules les transformations ponctuelles qui sont réellessont admissibles.Nous recherchons donc maintenant tous les groupes continus finisréels de R 3 relativement auxquels deux points réels ont un et un seulinvariant, tandis que trois points réels ou plus ne possèdent aucun invariantessentiel. Avec cela, nous nous restreignons naturellement aux4 En effet, le groupe projectif contient toutes les transformations infinitésimalesd’ordre zéro et un, et en dimension trois, ses transformations du second ordre, aunombre de trois, sont : x(xp + y q + z r), y(xp + y q + z r) et z(xp + y q + z r).