Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

248 Division V. Chapitre 21. § 95.allons nous rattacher tout d’abord dans le § 95 aux hypothèses que Monsieurde Helmholtz a posées au cours de ses calculs.§ 95.Considérations se rattachant aux calculs helmholtziens.Dans le paragraphe précédent, nous avons vu que Monsieur deHelmholtz applique sans plus de façons ses axiomes à des points infinimentvoisins. Dans la supposition erronée que cela soit autorisé résidela faiblesse des développements helmholtziens ; l’introduction de cettesupposition ôte toute force de preuve à sa réflexion.Mais on peut éviter cette erreur, si l’on dispose dès le début lesaxiomes helmholtziens de telle sorte qu’ils se réfèrent simplement à despoints infiniment voisins ; on peut alors toujours s’arranger pour que lescalculs helmholtziens parviennent effectivement au but en prenant pourbase les axiomes formulés de cette façon. Comme cela est possible dediverses manières et puisque cela ne vaut pas la peine de discuter àfond les différentes possibilités, nous nous contenterons de ce qui suit :nous poserons un système d’axiomes qui se réfère à des points infinimentvoisins et qui, sans concorder avec les hypothèses que Monsieurde Helmholtz a introduites tacitement dans ses calculs, sont cependanttrès analogues avec celles-ci. Ensuite, nous démontrerons par des calculsqui ne s’écartent pas dans leur principe de ceux de Monsieur deHelmholtz, que ce système d’axiomes suffit pour la caractérisation desmouvements euclidiens et non-euclidiens de l’espace ordinaire.Les axiomes que nous posons s’énoncent ainsi 1 :I) L’espace trois fois étendu est une variété numérique.II) Les mouvements de cet espace forment un groupe continu réelde transformations ponctuelles.III) Si l’on fixe un point réel en position générale, alors le groupelinéaire homogène, qui détermine de quelle manière les ∞ 2 élémentslinéaires réels qui passent par ce point sont transformés, possède exactementtrois paramètres.IV) Chaque sous-groupe réel à un paramètre du groupe linéairehomogène mentionné à l’instant est constitué de telle sorte que par sonaction, tous les éléments linéaires réels qui ne restent pas au repos décriventun cône réel qu’ils parcourent continûment, à l’intérieur duquel1 La finitude du nombre des paramètres du groupe n’est pas explicitement demandé.