Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

274 Division V. Chapitre 22. § 99.le groupe G contient visiblement 1 n(n + 1) transformations infinitésimalesindépendantes de la forme2:∑n+1p 1 + · · · , · · · , p n+1 + · · · , x µ p ν − x ν p µ + α µν(µ, ν =1··· n+1; µ < ν),1x τ p τ + · · · ,où les α µν sont des constantes réelles. Comme G a exactement 1 2 (n +1)(n+2) paramètres, on obtient de plus immédiatement en calculant lescrochets que tous les α µν s’annulent. Par conséquent, le groupe G appartientaux groupes réels que nous avons déterminés aux pages 385 sq.,et pour préciser, on obtient que G peut être transformé via une transformationponctuelle réelle de R n+1 , soit en le groupe des mouvementseuclidiens de cet espace, soit en le groupe projectif réel continu de l’unedes deux variétés du second degré :x 2 1 + · · · + x2 n+1 ± 1 = 0.Ainsi, on a démontré que, aussitôt que le Théorème 43 est valabledans un espace de dimension n 3, le Théorème 42 est toujours vraidans un espace à n + 1 dimensions.Mais si le Théorème 42 vaut dans un espace à n + 1 dimensions,alors le Théorème 43 et la Proposition 3 valent en même temps dans cetespace.En effet, chaque groupe projectif réel continu G de R n+1 , qui possèdela libre mobilité dans l’infinitésimal en un point réel de position généraleest semblable, sous les hypothèses qu’on a justement posées, viaune transformation ponctuelle réelle, soit au groupe des mouvementseuclidiens de R n+1 , soit à l’un des deux groupes de mouvements noneuclidiensde cet espace. Mais d’après le Théorème 19, p. 292, cettetransformation ponctuelle réelle est nécessairement projective, et parconséquent, nous parvenons tout simplement, avec les hypothèses quenous avons posées, au Théorème 43 et à la Proposition 3.Avec cela, on a démontré que, aussitôt que les Théorèmes 42 et 43et que la Proposition 3 valent dans un espace à n 3 dimensions, ilsont aussi vrais dans l’espace à n + 1 dimensions. Puisque nous lesavons déjà démontrés dans l’espace ordinaire trois fois étendu, ils sontdonc valides en toute généralité.Si donc n 3, alors le groupe des mouvements euclidiens et lesdeux groupes de mouvements non-euclidiens de R n sont complètement