Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

80 Trois principes de pensée qui gouvernent la théorie de Liequi sont de plus paramétrées par un nombre fini r de paramètres réelsou complexes (a 1 , . . .,a r ), à savoir pour chaque a fixé, chaque application:x ′ = f(x; a) =: f a (x)est supposée constituer un difféomorphisme d’un certain domaine 3 del’espace-source sur un autre domaine situé dans un espace d’arrivéeayant la même dimension n et muni de coordonnées (x ′ 1 , . . .,x′ n ). Ainsi,le déterminant jacobien :∂f 1∂f ∂x 1· · · · · · 1∣ ∣∣∣∣∣∣∂x n. . .. . = ∑ ∂f 1 ∂f 2 ∂f nsgn(σ)· · ·∂x∣ ∂f n ∂f∂x 1· · · · · · n σ∈Perm σ(1) ∂x σ(2) ∂x σ(n)n∂x nne s’annule en aucun point du domaine source. Avant d’introduire lesaxiomes de groupe (voir § 4.2), la première question à résoudre est : decombien de paramètres exactement les transformations x ′ i = f i (x; a)dépendent-elles réellement ? Certains paramètres pourraient en effetêtre superflus, et devraient à ce titre être supprimés à l’avance. Or àcette fin, il est crucial de formuler explicitement dès le début et une foispour toutes trois principes de pensée concernant l’admission des hypothèsesfondamentales qui gouvernent la théorie des groupes continusdéveloppée par Lie.Hypothèse générale d’analyticité : Courbes, surfaces, variétés, sousvariétés,équations de transformation, groupes, sous-groupes, etc., tousles objets mathématiques de la théorie seront supposés analytiques(réels ou complexes), c’est-à-dire que les fonctions qui les représententdans des systèmes de coordonnées locales seront systématiquementsupposées développables en série entière convergente dans un certaindomaine de R k ou de C k , pour un certain k 1.Principe de relocalisation libre au voisinage d’un point générique :Considérons un objet mathématique local représenté par des fonctionsqui sont analytiques dans un domaine U 1 , et supposons qu’un certain« bon » comportement « générique » se produise dans U 1 \D 1 en dehorsd’un certain sous-ensemble analytique D 1 ⊂ U 1 ; par exemple, l’inversiond’une matrice carrée qui est constituée de fonctions analytiquesest possible seulement en dehors de l’ensemble D 1 des zéros de son3 D’après une définition standard de topologie générale, un domaine est un ouvertconnexe non vide.