Sophus Lie, Friedrich Engel et le problÃ¨me de Riemann ... - DMA - Ens

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200 Division V. Chapitre 20. § 87.Ce cas a déjà été complètement étudié aux pages 157 sq., où l’ona démontré 28 que le groupe (43) peut être, par un choix approprié de lavariable z, rapporté soit à la forme :soit à la forme :(44)r, p, q, xq, xp − yq, yp,{r, p, q + xr, xp − yq,yp + 1 2 y2 r, xq + 1 2 x2 r.Le premier de ces groupes n’entre pas en ligne de compte, puisque qet xq possèdent les mêmes courbes intégrales. Le groupe (44) nous est28 Par souci de complétude, voici les arguments. En introduisant ∫ 1ϕdz commenouveau z, on remplace ϕr par r et on obtient le groupe :r, p + ϕ 1 r, q + ϕ 2 r, xp − yq + ϕ 3 r, xq + ϕ 4 r, yp + ϕ 5 r.Le crochet avec r des cinq derniers générateurs montre que chaque ϕ k a la formeϕ k = a k z + ψ k (x, y), k = 1, . . .,5. Mais comme le crochet :[p + (a1 z + ψ 1 )r, xp − yq + (a 4 z + ψ 4 )r ] = p + χ(x, y)r,où χ est une fonction de x et de y qu’il est inutile de calculer précisément, ne peutqu’être égal à p+(a 1 z+ψ 1 )r, on obtient que a 1 = 0, et d’une manière analogue aussi,que a 2 = · · · = a 5 = 0. En introduisant maintenant z− ∫ ψ 1 dx comme nouveau z, onredresse la transformation infinitésimale p+ψ 1 r en p. Le crochet [ p, q+ψ 2 r ] = ∂ψ2∂x rmontre alors que ϕ 2 = Cx + χ(y), et on peut annuler ensuite la fonction χ(y) enintroduisant z − ∫ χ dy comme nouveau z. Le groupe considéré est ainsi réduit à laforme :r, p, q + Cxr, xp − yq + ψ 3 r, xq + ψ 4 r, yp + ψ 5 r,où ψ 3 , ψ 4 , ψ 5 sont des fonctions de (x, y). Le crochet [ p, xp−yq+ψ 3 r ] = p+ ∂ψ3∂x rmontre que ψ 3 = ax + τ(y). D’un autre côté, on a :[q + Cxr, xp − yq + (ax + τ)r]= −q +(τ ′ (y) − Cx)r,d’où τ ′ (y) est constant = b et τ(y) = by, si l’on supprime la constante d’intégrationgrâce à la présence de la (première) transformation infinitésimale r. En introduisantencore z − ax + by comme nouveau z, on obtient simplement la transformation infinitésimalexp − yq, tandis que r, p et q + Cxr ne changent pas essentiellement deforme. De plus, on a :[p, xq + ψ4 r ] = q + ∂ψ4∂x r,[q + Cxr, xq + ψ4 r ] = ∂ψ4∂y r,d’où en faisant abstraction de la constante d’intégration (superflue) : ψ 4 = 1 2 Cx2 +ky.Mais le crochet :[xp − yq, xq + (12 Cx2 + ky)r ] = 2xq + (Cx 2 − ky)rmontre que la constante k s’annule. Enfin, on montre d’une manière analogue queψ 5 = 1 2 Cy2 . Si C = 0, on obtient le premier groupe ; si C ≠ 0, en remplaçant z par1Cz, on obtient le second groupe (44).
Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 201déjà connu, d’après le Tome II (voir le Théorème 66, p. 421) ; de plus,nous savons qu’en introduisant les expressions x, 1 y, z − 1 xy comme2 2nouvelles variables à la place de x, y, z, ce groupe se transforme 29 en legroupe projectif suivant (loc. cit., pp. 445 sq.) :(45) p − yr, q + xr, r, xq, xp − yq, yp .Ainsi, pour notre recherche, nous souhaitons considérer ce groupe fondamentalementsous cette forme projective.La présentation des trois transformations infinitésimales : p − yr,q + xr, r montre que x = y = z = 0 est un point en position générale.Mais comme ce point reste au repos par l’action des trois transformationsinfinitésimales :(46) xq, xp − yq, ypdu groupe (45), et comme le déterminant correspondant :0 x 0(47)x −y 0∣ y 0 0 ∣s’annule identiquement, sans que tous ses sous-déterminants d’ordredeux en fassent de même, il découle très certainement de la Proposition2 p. 178 que deux points : x 1 , y 1 , z 1 et x 2 , y 2 , z 2 possèdent un et unseul invariant relativement au groupe (45). Pour cet invariant, on trouvetrès facilement l’expression :(48) z 2 − z 1 + x 1 y 2 − x 2 y 1 .La famille des pseudosphères :(49) z − z 0 + x 0 y − y 0 x = const.appartenant à ce groupe consiste en ∞ 3 surfaces différentes et pour préciser,elle consiste en tous les plans de l’espace des x, y, z. Commede plus, d’après le Théorème 73 p. 445 du Tome II, le groupe (44)ne laisse invariante aucune autre famille de ∞ 2 courbes que la famille: x = const., y = const., il en va évidemment de même pourle groupe (45), et comme les ∞ 3 pseudosphères (49) ne sont pas entièrementconstituées des courbes de la famille : x = const., y = const., ondéduit donc immédiatement de la Proposition 4, p. 181, qu’un nombre29 On vérifie en effet par le calcul que (44) devient (45), lequel est effectivementun sous-groupe du groupe projectif engendré par les 8 générateurs infinitésimaux p, q,xp, yp, xq, yq, xxp + xyq, xyp + yyq.
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