Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Première solution au problème de Riemann-Helmholtz. 285Par conséquent, la proposition suivante découle des développementsriemanniens :Si G est le plus grand groupe réel continu qui laisse invariante uneexpression différentielle constamment positive de la forme (5), et si cegroupe est constitué de telle sorte qu’après fixation d’un point réel enposition générale, chaque M 2 -élément réel passant par ce point peutêtre transformé en tout autre, alors il transforme les ∞ n−1 élémentslinéaires passant par ce point de la manière la plus générale possible.Riemann pose à l’avance que le carré de la longueur d’un élémentcourbe est une expression différentielle du second ordre constammentpositive et il ajoute l’exigence que les figures puissent coulisser et tournerlibrement sans subir d’élargissement. Cette dernière exigence a, sion l’interprète de la manière dont nous l’avons envisagée, la même significationque l’exigence que l’expression différentielle en questionadmette un groupe réel continu qui est transitif et qui transforme de lamanière la plus générale possible les éléments linéaires réels passantpar le point réel de position générale qui a été fixé.Il est clair que le groupe réel G, sous ces hypothèses, possède lalibre mobilité dans l’infinitésimal en chaque point de position générale.D’un autre côté, dans les §§ 97–99, nous avons démontré que chaquegroupe réel G de R n (n > 2), qui possède la libre mobilité dans l’infinitésimalen un point réel de position générale peut être transformé,via une transformation ponctuelle réelle soit en le groupe des mouvementseuclidiens, soit en l’un des deux groupes de mouvements noneuclidiens.Par conséquent, les deux exigences riemanniennes : Existenced’une longueur quadratique d’élément courbe constamment positive,et possibilité pour les figures de coulisser et de tourner librementsans élargissement, ces deux exigences suffisent pour la caractérisationdes mouvements euclidiens et non-euclidiens, pourvu qu’on interprètela possibilité de coulisser et de tourner librement comme cela a été faitplus haut. Mais nous voyons en même temps que l’exigence de libremobilité dans l’infinitésimal, en commun avec l’exigence que les mouvementsdoivent constituer un groupe, ces deux exigences peuvent apparemmentêtre complètement substituées aux exigences poursuivies parRiemann.Nous allons encore montrer que l’on peut déduire l’existence d’une longueurquadratique d’élément courbe constamment positive directement à partirde l’exigence de libre mobilité dans l’infinitésimal, sans s’appuyer sur les développementsdes §§ 97–99.