Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 183famille de courbes serait évidemment indépendante de la position deces trois points-là, elle resterait également invariante par le groupe :X 1 f . . .X 6 f, puisque la famille de toutes les pseudosphères est ellemêmeinvariante (cf. p. 171), alors que dans notre proposition, l’existenced’une telle famille de courbes invariantes est cependant expressémentexclue. Ainsi, on a démontré que trois pseudosphères ayant troiscentres distincts n’ont en général qu’un seul point en commun. Si l’onentend maintenant par x 4 , y 4 , z 4 un quatrième point quelconque en positiongénérale, les trois fonctions : J 1,4 , J 2,4 , J 3,4 seront très certainementindépendantes l’une de l’autre relativement à x 4 , y 4 , z 4 . Si de surcroît,on tient compte du fait que quatre points ont précisément six invariantsindépendants relativement au groupe : X 1 f . . .X 6 f, et aussi du fait que :J 1,2 , J 1,3 , J 2,3 , J 1,4 , J 2,4 , J 3,4 constituent déjà six invariants tels, on obtientque, sous les hypothèses posées, quatre points n’ont pas non plusd’invariant essentiel. Enfin, il est désormais tout aussi immédiatementclair que s > 4 points sont dépourvus d’invariant essentiel ; notre propositionest donc complètement démontrée.Maintenant, nous allons tout d’abord déterminer tous les groupesprimitifs qui possèdent les propriétés énoncées p. 181 et ensuite, nousdéterminerons ceux qui sont imprimitifs.§ 86.Groupes primitifs parmi les groupes recherchés.Parmi les groupes primitifs à six paramètres de R 3 , il n’y a aprèstout que deux types 1 (voir Théorème 9, p. 139), lesquels sont représentéspremièrement par le groupe :(22) p, q, r, xq − yp, yr − zq, zp − xrdes mouvements euclidiens, et deuxièmement par le groupe projectif àsix paramètres :(23)p + xU, q + yU, r + zUxq − yp, yr − zq, zp − xrde la surface du second degré : x 2 + y 2 + z 2 + 1 = 0, où, comme àl’accoutumée, on écrit U pour xp + yq + zr.1 La référence concerne le Théorème 9 du Volume III qui classifie tous les groupescontinus finis de transformations holomorphes locaux sur un espace à trois dimensionsqui sont primitifs.