Sophus Lie, Friedrich Engel et le problÃ¨me de Riemann ... - DMA - Ens

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210 Division V. Chapitre 20. § 89.doit encore distinguer trois cas, selon que cette surface du second degréest imaginaire, ou réelle et non réglée, ou réelle et réglée.À présent, nous recherchons tous les groupes réels à six paramètresqui sont semblables 5 à l’un des groupes : [1] . . . [4].Comme chacun des groupes : [1] . . . [4] laisse invariante seulementla famille : x = const., y = const., mais nulle autre famille de ∞ 2courbes, chaque groupe réel à six paramètres : X 1 f . . .X 6 f qui est semblableà l’un d’entre eux, laisse invariante une et seulement une famillede ∞ 2 courbes. De plus, cette famille doit nécessairement être réelle, carsi elle était imaginaire, la famille des courbes imaginaires conjuguéesresterait aussi invariante par le groupe : X 1 f . . .X 6 f, puisqu’il est réel,et il y aurait alors deux familles invariantes distinctes, ce qui ne peutpas être le cas. Par une transformation ponctuelle réelle, nous pouvonsmaintenant transformer cette unique famille existante de ∞ 2 courbes enla famille : x = const., y = const., et par là, nous pouvons — dès ledébut — rapporter le groupe réel : X 1 f . . .X 6 f à la forme :X k f = ξ k (x, y) p + η k (x, y) q + ζ k (x, y, z) r(k =1, 2 ···6),où naturellement les ξ k , η k , ζ k sont des fonctions réelles de leurs arguments.Comme précédemment (voir p. 185), on obtient maintenant aussiles six transformations infinitésimales :X k f = ξ k (x, y) p + η k (x, y) q (k = 1 ···6),qui forment évidemment un groupe réel dans l’espace des deux variablesx, y ; et grâce au raisonnement de la page 186, on comprendimmédiatement que ce groupe réduit doit possèder au moins cinq paramètreset que, si on l’interprète comme un groupe agissant sur un plan,alors chaque famille réelle ou imaginaire de ∞ 1 courbes qu’il laisseinvariante doit être transformée par une action à trois paramètres.Si maintenant le groupe réduit : X 1 f . . .X 6 f ne laisse invarianteabsolument aucune famille de ∞ 1 courbes dans le plan, alors d’aprèsles pages 370 sq., il est semblable, via une transformation ponctuelleréelle, à l’un des deux groupes : (I), p. 188 et (V), p. 199. Si, d’un autrecôté, il laisse invariante seulement une famille de ∞ 1 courbes, alorscette famille est nécessairement réelle et par suite, sur la base des développementsdes pages 378 sq., le groupe peut être rapporté, via une5— par une transformation ponctuelle complexe —
Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 211transformation ponctuelle réelle, à l’une des trois formes : (II), (III),p. 188 et (VI), p. 199. Si enfin le groupe : X 1 f . . .X 6 f laisse invariantesdeux familles distinctes de ∞ 1 courbes, alors il peut, lorsque cesdeux familles sont réelles, recevoir la forme (IV), p. 188, et lorsqu’aucontraire elles sont imaginaires conjuguées, la forme :{p, q, xp + yq, yp − xq(VII)(x 2 − y 2 ) p + 2xyq, 2xyp + (y 2 − x 2 ) q,(cf.p. 380) et ceci, les deux fois, via une transformation ponctuelleréelle.Si le groupe réduit : X 1 f . . .X 6 f a l’une des formes (I) . . . (VI),alors en conduisant exactement les mêmes calculs que précédemment(voir de la p. 188 à la p. 204), on détermine toutes les formes possiblesdu groupe : X 1 f . . .X 6 f, et alors, comme on s’en convainc facilement,on a seulement besoin, lors de l’effectuation de ces calculs, de transformationsponctuelles qui respectent pas à pas la réalité du groupe. Par là,nous voyons que les formes (I) et (II) du groupe réduit ne conduisentà aucun groupe réel possédant les qualités ici requises, et nous voyonsaussi que chaque groupe réel : X 1 f . . .X 6 f qui satisfait nos exigences etdont le groupe réduit possède l’une des formes (III), . . . , (VI) est semblable,via une transformation ponctuelle réelle, à l’un des groupes :[2] 6 , [1], [3], [4]. Et naturellement, le paramètre c qui apparaît dans lesdeux groupes [1] et [2] doit avoir une valeur réelle.Enfin, si le groupe réduit : X 1 f . . .X 6 f a la forme (VII), alors legroupe : X 1 f . . .X 6 f est semblable, via une transformation imaginaire,à l’un des groupes de la forme [1], car le groupe (IV), p. 188 provientdu groupe (VII), lorsqu’on introduit comme nouvelles variables x + iyet x − iy à la place de x et de y.Nous ne voulons néanmoins faire aucun usage de cette circonstance,car il est préférable de déterminer directement tous les groupesréels à six paramètres qui satisfont nos exigences et dont les groupesréduits ont la forme (VII).Ainsi, nous cherchons maintenant tous les groupes réels à six paramètresde la forme :{p + ϕ1 r, q + ϕ 2 r, xp + yq + ϕ 3 r, yp − xq + ϕ 4 r(56)(x 2 − y 2 ) p + 2xyq + ϕ 5 r, 2xyp + (y 2 − x 2 ) q + ϕ 6 r6 C’est le bon ordre.
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