Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

298 Division V. Chapitre 23. § 102.plus, en épuisant les différentielles d’ordre deux et d’ordre supérieur enles x ν , et ainsi de suite. Nous nous réservons le droit de traiter d’unemanière détaillée de ces questions à une autre occasion.Nous nous tournons maintenant vers le problème véritable du présentchapitre, i.e. vers la solution du problème de Riemann-Helmholtz,et pour préciser, nous nous limitons tout d’abord, comme cela a été annoncéplus haut, à l’espace trois fois étendu.§ 102.Nous affirmons que les mouvements euclidiens et non-euclidiensde R 3 sont entièrement caractérisés, lorsque l’on pose les axiomes suivants:I) R 3 est une variété numérique.II) Les mouvements de R 3 forment un groupe réel continu, qui estengendré par des transformations infinitésimales.III) Si l’on fixe un point réel quelconque : y1 0, y0 2 , y0 3 en positiongénérale, alors tous les autres points réels : x 1 , x 2 , x 3 , en lesquels unautre point réel : x 0 1, x 0 2, x 0 3 peut encore être transformé, satisfont uneéquation réelle de la forme :(6) W ( y 0 1 , y0 2 , y0 3 ; x0 1 , x0 2 , x0 3 ; x 1, x 2 , x 3)= 0,qui n’est pas réalisée pour : x 1 = y 0 1, x 2 = y 0 2, x 3 = y 0 3, et qui représente(en général) une surface réelle passant par le point : x 0 1, x 0 2, x 0 3.IV) Autour du point : y1, 0 y2, 0 y3, 0 une région finie trois fois étenduepeut être délimitée de telle sorte qu’après fixation du point : y1 0, y0 2 , y0 3 ,chaque autre point réel : x 0 1 , x0 2 , x0 3 de la région peut encore être transformécontinûment en chaque autre point réel appartenant à la régionqui satisfait l’équation (6) et pouvant être relié au point : x 0 1, x 0 2, x 0 3 parune série de points continue et irréductible.Si l’on raye les deux mots mis entre parenthèses dans l’Axiome III,ces axiomes suffisent sûrement aussi ; ce qui suit le montre, quand onsupprime partout les deux mots mis entre parenthèse. Si on conservedans l’Axiome III et dans la suite les mots mis entre parenthèse, alors lasuite montre, si nous ne nous trompons pas, que les axiomes sont encoreaussi satisfaits.